수악중독

의 수열 \(\{a_n\}\) 중 극한값 \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_1 +a_2 + \cdots + a_n}{n}\) 이 존재하는 것을 모두 고르면? ㄱ. \(a_n =n\) ㄴ. \(a_n = \dfrac{1}{2^n}\) ㄷ. \( a_n = (-1)^n\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④

세 수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}, \; \{c_n\}\) 에 대한 옳은 설명을 에서 모두 고른 것은? ㄱ. 두 수열 \(\{a_n\},\; \{a_n b_n\}\) 이 모두 수렴하면, 수열 \(\{b_n\}\) 은 수렴한다. ㄴ. \(\lim \limits _{n \to \infty} (a_n -2b_n ) =0 \) 이고 \(\lim \limits _{n \to \infty} b_n =1\) 이면, \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n =2\) 이다. ㄷ. \(a_n < b_n < c_n\) 이고 \(\lim \limits_{n \to \infty} (c_n - a_n) =0\) 이면, 수열 \(\{b_n\}\) 은 수렴한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 \(\rm A\) 와 한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형 \(\rm B\) 는 변이 서로 평행하고, \(\rm A\) 의 두 대각선의 교점과 \(\rm B\) 의 두 대각선의 교점이 일치하도록 놓여 있다. \(\rm A\) 와 \(\rm A\) 의 내부에서 \(\rm B\) 의 내부를 제외한 영역을 \(\rm R\) 라 하자. \(2\) 이상인 자연수 \(n\) 에 대하여 한 변의 길이가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 작은 정사각형을 다음 규칙에 따라 \(\rm R\) 에 그린다. (가) 작은 정사각형의 한 변은 \(\rm A\) 의 한 변에 평행하다. (나) 작은 정사각형들의 내부는 서로 겹치지 않도록 한다. 이와 같은 규칙에 따라 \(\rm ..

그림과 같이 원점 \(\rm O\) 에서 두 점 \({\rm A} \left ( \sqrt{3},\;0 \right ),\;\; {\rm B} (0,\;1)\) 을 이은 선분 \(\rm AB\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm P_1\) 이라 하자. 점 \(\rm P_1\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(Q_1\), 점 \(Q_1\) 을 지나고 선분 \(\rm AB\) 와 평행한 직선의 \(y\) 절편을 \(\rm R_1\), 점 \(\rm R_1\) 에서 선분 \(\rm AB\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm P_2\) 라 하자. 점 \(\rm P_2\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm Q_2\) , 점 \(\rm Q_2\) 를 지나고 선분 \(\rm AB\) 와 평행한..

자연수 \(n\) 에 대하여 좌표평면 위의 세 점 \({\rm A}_n (x_n ,\;0),\;\;{\rm B}_n (0,\; x_n ),\;\;{\rm C}_n (x_n ,\; x_n )\) 을 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형 \(T_n\) 을 다음 조건에 따라 그린다. (가) \(x_1 =1\) 이다. (나) 변 \({\rm A}_{n+1} {\rm B}_{n+1}\) 의 중점이 \({\rm C}_n\) 이다. \((n=1,\;2,\;3,\;\cdots )\) 삼각형 \(T_n\) 의 넓이를 \(a_n\), 삼각형 \(T_n\) 의 세 변 위에 있는 점 중에서 \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 \(b_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty..

연립부등식 \(\left\{ {\begin{array}{ll}{\left| x \right| + 2\left| y \right| \le 4}\\{{2^n}\left( {y - x} \right) + y \ge 1}\end{array}} \right.\) 의 해 \((x,\;y)\) 가 나타내는 영역의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} S_n\) 의 값은? (단, \(n\) 은 자연수이다.) ① \(8\) ② \(10\) ③ \(12\) ④ \(14\) ⑤ \(16\) 정답 ①

그림과 같이 자연수 \(n\) 에 대하여 가로의 길이가 \(n\), 세로의 길이가 \(48\) 인 직사각형 \(\rm OAB_{\it n} C_{\it n}\) 이 있다. 대각선 \(\rm AC_{\it n}\) 과 선분 \(\rm B_1 C_1\) 의 교점을 \(\rm D_{\it n}\) 이라 한다. 이때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{\overline {\rm AC_{\it n}}- \overline {\rm OC_{\it n}}}{\overline {\rm B_1 D_{\it n}}}\) 의 값을 구하시오. 정답 24

수렴하는 두 무한수열 \(\{a_n\},\;\;\{b_n\}\) 에 대하여 \[\left ( \matrix {a_{n+1} \\ b_{n+1}} \right ) = \left ( \matrix { 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 } \right ) \left ( \matrix { a_n \\ b_n } \right ) \;\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 으로 정의할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{b_n}{a_n}\) 의 값은? (단, \( a_1 =4,\;\;b_1 =6\)) ① \(\dfrac{1}{3}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(2\) 정답 ②

이차함수 \(f(x)=2x^2 -2nx + \dfrac{1}{2} n^2 + 6n +1 \;\;(n=1,\;2,\;3, \cdots\) 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 \({\rm P} (x_n ,\; y_n ) \) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{y_n}{x_n}\) 의 값을 구하시오. 정답 12

\(n\) 이 자연수일 때, 점 \({\rm A}_n \left ( n,\; \sqrt{3}n \right )\) 과 원 \(x^2 +y^2 = 4n^2 -3n\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm PA_{\it n}\) 의 길이의 최솟값을 \(a_n\) 이라 하자. 이때, \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n \) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{3}\) ② \(\dfrac{3}{4}\) ③ \(\dfrac{4}{5}\) ④ \(\dfrac{5}{4}\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\) 정답 ②