수학1_수열의 극한_극한의 활용_난이도 상

자연수 \(n\) 에 대하여 좌표평면 위의 세 점 \({\rm A}_n (x_n ,\;0),\;\;{\rm B}_n (0,\; x_n ),\;\;{\rm C}_n (x_n ,\; x_n )\) 을 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형 \(T_n\) 을 다음 조건에 따라 그린다. 

(가) \(x_1 =1\) 이다.
(나) 변 \({\rm A}_{n+1} {\rm B}_{n+1}\) 의 중점이 \({\rm C}_n\) 이다. \((n=1,\;2,\;3,\;\cdots )\) 

 

삼각형 \(T_n\) 의 넓이를 \(a_n\), 삼각형 \(T_n\) 의 세 변 위에 있는 점 중에서 \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 \(b_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{2^n b_n}{a_n +2^n}\) 의 값을 구하시오.

정답 12