수악중독

좌표평면에서 직선 \(x-3y+3=0\) 위에 있는 점 중에서 \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표가 자연수인 모든 점의 좌표를 각각 \((a_1 , \; b_1 ),\;\; (a_2 , \; b_2 ) ,\;\; \cdots ,\;\;(a_n , \; b_n ) ,\;\; \cdots \) 이라 할 때, 무한급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n b_n} \) 의 값은? (단, \(a_1

원에 다음 과정을 실행한다. \(\rm I\). 원의 지름을 \(1:2\) 로 내분하는 점을 잡는다. \(\rm II\). 이 원에 내접하면서 \(\rm I\) 의 내분점에서 서로 외접하는 두 개의 원을 그린다. 지름의 길이가 \(6\) 인 원이 있다. 이 원에 위의 과정을 실행하여 그린 \(2\) 개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 \(C_1\) 이라 하자. 그림 \(C_1\) 에서 새로 그려진 \(2\) 개의 원에 각각 위의 과정을 실행하여 그린 \(4\) 개의 원의 내부를 제외하여 얻어진 그림을 \(C_2\) 라 하자. 그림 \(C_2\) 에서 새로 그려진 \(4\) 개의 원에 각각 위의 과정을 실행하여 그린 \(8\) 개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 \(C_3\) 이라 하자. 그림 ..

그림과 같이 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm A_1 B\) 를 지름으로 하는 반원 \(\rm D_1\) 이 있다. 호 \(\rm A_1 B\) 를 이등분하는 점을 \(\rm C_1\), 점 \(\rm B\) 를 지나면서 선분 \(\rm A_1 C_1\) 과 접하고 중심이 선분 \(\rm A_1 B\) 위에 있는 반원을 \(\rm D_2\), 반원 \(\rm D_2\) 가 선분 \(\rm A_1 B\) 와 만나는 점을 \(\rm A_2\) 라 하자. 호 \(\rm A_2 B\) 를 이등분하는 점을 \(\rm C_2\), 점 \(\rm B\) 를 지나면서 선분 \(\rm A_2 C_2\) 와 접하고 중심이 선분 \(\rm A_1 B\) 위에 있는 반원을 \(\rm D_3\), 반원 \(\rm D_3\)..

그림과 같이 정육각형 \(\rm H_1\) 의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 \(\rm H_1\) 의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 \(S_1\), 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 \(\rm H_2\) 라 하자. 정육각형 \(\rm H_2\) 의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 \(\rm H_2\) 의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 \(S_2\), 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 \(\rm H_3\) 이라 하자. 이와 같은 방법으로 정육각형 \(\rm H_{\it n}\) 의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 \(\rm H_{\it n}\) 의 내부에 그리고,..

오른쪽 그림과 같이 원점 \(\rm O\) 와 점 \({\rm A}_0 (10,\;0)\) 에 대하여 제 \(1\) 사분면 위에 \(\overline {\rm OA_0}\) 를 한 변으로 하는 정삼각형 \(\rm OA_0 A_1\) 을 만들고 \(\overline {\rm A_0 A_1}\) 을 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\rm B_1\) 이라 한다. 또, \(\triangle \rm OA_0 A_1\) 밖에 \(\overline{\rm A_1 B_1}\) 을 한 변으로 하는 정삼각형 \(\rm A_1 B_1 A_2\) 를 만들고 \(\overline {\rm A_1 A_2}\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\rm B_2\) 라 한다. 이와 같은 과정을 한없이 반복하면 점 \(\rm ..

자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm A}_n\) 은 직선 \(y=n\) 위에 있다. 선분 \(\rm A_0 A_1\) 의 기울기가 \(\dfrac{3}{4}\) 이고, 선분 \({\rm A}_n {\rm A}_{n+1}\) 의 기울기는 선분 \({\rm A}_{n-1} {\rm A}_n\) 의 기울기의 \(\dfrac{4}{3}\) 배이다. 점 \({\rm A}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(x_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n \) 의 값은? (단, 원점 \(\rm O = A_0\)) ① \(\dfrac{16}{3}\) ② \(5\) ③ \(\dfrac{14}{3}\) ④ \(\dfrac{13}{3}\) ⑤ \(4\) 더보기 정답 ①

모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( 3^n a_n -2 \right ) \) 가 수렴할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{6a_n + 5 \cdot 4^{-n}}{a_n +3^{-n}}\) 의 값을 구하시오. 정답 4

무한수열 \(a_1 ,\; 2a_2 ,\; 2^2 a_3 , \; \cdots , \; 2^{n-1} a_n ,\; \cdots\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합이 \(5n\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 10

첫째항이 \(1\) 인 두 무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n ,\;\; \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n \) 이 모두 수렴하고, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \dfrac{8}{3},\;\; \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \dfrac{4}{5}\) 가 성립한다. 이때, 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} (a_n + b_n )^2\) 의 합은? ① \(\dfrac{64}{15}\) ② \(5\) ③ \(\dfrac{32}{5}\) ④ \(\dfrac{15}{2}\) ⑤ \(10\) 정답 ①

어느 장학재단은 \(14\) 억 원의 기금을 조성하였다. 매년 초에 기금을 운용하여 연말까지 \(20\%\) 의 이익을 내고, 기금과 이익을 합한 금액의 \(40\%\) 를 매년 말에 장학금으로 지급하려 한다. 장학금으로 지급하고 남은 금액을 기금으로 하여 기금의 운용과 장학금의 지급을 매년 이와 같은 방법으로 실시할 계획이다. 이 계획대로 해마다 지급한 장학금의 총액의 극한값은? (단, 단위는 억 원이다.) ① \(24\) ② \(26\) ③ \(28\) ④ \(30\) ⑤ \(32\) 정답 ①