수학1_수열의 극한_극한의 활용_난이도 상

그림과 같이 원점 $\rm O$ 에서 두 점 ${\rm A} \left ( \sqrt{3},\;0 \right ),\;\; {\rm B} (0,\;1)$ 을 이은 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm P_1$ 이라 하자. 점 $\rm P_1$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $Q_1$, 점 $Q_1$ 을 지나고 선분 $\rm AB$ 와 평행한 직선의 $y$ 절편을 $\rm R_1$, 점 $\rm R_1$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm P_2$ 라 하자. 점 $\rm P_2$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm Q_2$ , 점 $\rm Q_2$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 와 평행한 직선의 $y$ 절편을 $\rm R_2$, 점 $\rm R_2$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm P_3$ 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 ${\rm Q}_n ,\;\;{\rm R}_n ,\;\; {\rm P}_{n+1}$ 을 정하여 나갈 때, 점 ${\rm Q}_n$ 의 $x$ 좌표 $x_n$ 에 대하여 $\lim \limits _{n \to \infty} x_n =a$ 이다. $100a^2$ 의 값을 구하시오.

정답 12