수학1_수열의 극한_극한의 활용_난이도 상

그림과 같이 원점 \(\rm O\) 에서 두 점 \({\rm A} \left ( \sqrt{3},\;0 \right ),\;\; {\rm B} (0,\;1)\) 을 이은 선분 \(\rm AB\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm P_1\) 이라 하자. 점 \(\rm P_1\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(Q_1\), 점 \(Q_1\) 을 지나고 선분 \(\rm AB\) 와 평행한 직선의 \(y\) 절편을 \(\rm R_1\), 점 \(\rm R_1\) 에서 선분 \(\rm AB\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm P_2\) 라 하자. 점 \(\rm P_2\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm Q_2\) , 점 \(\rm Q_2\) 를 지나고 선분 \(\rm AB\) 와 평행한 직선의 \(y\) 절편을 \(\rm R_2\), 점 \(\rm R_2\) 에서 선분 \(\rm AB\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm P_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 \({\rm Q}_n ,\;\;{\rm R}_n ,\;\; {\rm P}_{n+1} \) 을 정하여 나갈 때, 점 \({\rm Q}_n\) 의 \(x\) 좌표 \(x_n\) 에 대하여 \(\lim \limits _{n \to \infty} x_n =a\) 이다. \(100a^2\) 의 값을 구하시오.

정답 12