수악중독

그림과 같이 곡선 \(y=x^2\) 위의 점 \({\rm P}_n \left ( n,\; n^2 \right )\) ( \(n\) 은 자연수) 에서의 접선이 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \({\rm Q}_n ,\; {\rm R}_n \) 이라 하고, 원점 \(\rm O\) 에 대하여 삼각형 \({\rm OQ}_n {\rm R}_n \) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. 이 때, \(\lim \limits_{n\to \infty} {\dfrac{S_n}{n^3}}\) 의 값은? ① \( \dfrac{1}{4}\) ② \( \dfrac{1}{5}\) ③ \( \dfrac{1}{6}\) ④ \( \dfrac{1}{7}\) ⑤ \( \dfrac{1}{8}\) 정답 ①

오른쪽 그림과 같이 주어진 함수 \(f(x)\) 에 대하여 수열 \(\{x_n\}\) 이 \(x_1 >0,\;\; x_{n+1} = f(x_n)\) 으로 정의되어 있다. 이 때, \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \left\{{\begin{array}{ll}{\;(가)\;\;\; \left( {0 < {x_1} < 1} \right)}\\{\; (나)\;\;\; \left( {1 < {x_1} < 2} \right)}\\{\; (다)\;\;\; \left( {2 < {x_1} < 3} \right)}\end{array}} \right.\] 라고 한다. 이 때, (가), (나), (다)에 알맞은 수를 모두 합한 값을 구하시오. 정답 4

자연수 \(n\) 에 대하여 원점 \(\rm O\) 와 점 \((n, \; 0)\) 을 이은 선분을 밑변으로 하고, 높이가 \(h_n\) 인 삼각형의 넓이를 \(a_n\) 이라 하자. 수열 \(\{ a_n\}\) 은 첫째항이 \(\dfrac{1}{2}\) 인 등비수열일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n = {\dfrac{1}{2}} \) 이면 \(h_n = {\dfrac{1}{n}}\) 이다. ㄴ. \(h_2 = {\dfrac{1}{4}}\) 이면 \(a_n = \left ({\dfrac{1}{2}} \right ) ^n \) 이다. ㄷ. \(h_2 < {\dfrac{1}{2}} \) 이면 \(\lim \limits _{n\to \infty} n h..

자연수 \(n\) 에 대하여 집합 \(\{ k \; \vert \; 1\le k \le 2n ,\;\;k 는\;자연수\}\) 의 세 원소 \(a,\;b,\;c\;\;(a

\(n\) 이 양의 정수일 때, \(6^n\) 의 양의 약수의 총합은 \(T(n)\) 이다. 이 때, \(\lim \limits _{n\to \infty} {\dfrac{6^n}{T(n)}}\) 의 값을 구하면? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{6}\) ④ \(\dfrac{1}{12}\) ⑤ \(\dfrac{1}{18}\) 정답 ②

\(-1

세 수열 \(\{a_n\},\;\;\{b_n\},\;\;\{c_n\}\) 의 일반항이 와 같을 때, 수열 중에서 수렴하는 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_n = {\dfrac {\sqrt {2n+2+\sqrt{n^2 +2n}}}{\sqrt{2n+1+\sqrt{n^2 +n}}}}\) ㄴ. \(b_n = {\dfrac {\sqrt {2n+2-\sqrt{n^2 +2n}}}{\sqrt{2n+1-\sqrt{n^2 +n}}}}\) ㄷ. \(c_n = {\dfrac {\sqrt {2n+2-2\sqrt{n^2 +2n}}}{\sqrt{2n+1-2\sqrt{n^2 +n}}}}\) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

양수 \(a\) 와 자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(S(n)\) 과 \(T(n)\) 을 다음과 같이 정의한다. (가) 수직선에서 \(0

\(x \ne 0\) 일 떄, 무한등비급수 \[ x+ x\left ( x^2 -x+1 \right ) + x \left ( x^2 -x+1 \right )^2 + \cdots \] 의 합을 \(S(x)\) 라 한다. 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(S(x)\) 의 정의역은 \(\{ x\; \vert \; 0

오른쪽 그림과 같이 \(\overline {\rm AB_1} = \overline {\rm AC_1} =3,\;\; \overline {\rm B_1 C_1}=2\) 인 이등변삼각형의 세 변에 접하는 원 \(\rm O_1\) 을 그린 후, 원 \(\rm O_1\) 에 접하고 삼각형의 두 변 \(\overline {\rm AB_1} \) 과 \(\overline {\rm AC_1}\) 에 접하는 원을 \(\rm O_2\), 원 \(\rm O_2\) 에 접하고 삼각형의 두 변 \(\overline {\rm AB_1} \) 과 \(\overline {\rm AC_1}\) 에 접하는 원을 \(\rm O_3 , \cdots \) 와 같이 원을 한없이 그려 나간다. 이 때, 원 \(\rm O_1 , \; O_2 ,..