수악중독

무한급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} (x-1) \left ( \log _2 x\right )^n\) 이 수렴할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 수렴하기 위한 \(x\) 값의 범위는 \(\dfrac{1}{2}

등변사다리꼴 \(\rm ABCD\) 에서 두 대각선 \(\overline{\rm AC}\)와 \(\overline {\rm BD}\) 의 교점을 \(\rm P_1\) 이라 하고 \(\rm P_1\) 에서 \(\overline {\rm BC}\) 에 평행인 선을 그어 \(\rm CD\) 와 만나는 점을 \(\rm Q_1\) 이라 하자. 마찬가지 방법으로 \(\overline {\rm AQ_1}\) 과 \(\overline{\rm BD}\) 의 교점을 \(\rm P_2\) 라 하고, \(\rm P_2\) 에서 \(\overline {\rm BC}\) 에 평행인 선을 그어 \(\overline {\rm CD}\) 와 만나는 점을 \(\rm Q_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 \(\rm P_1 ..

두 무한등비수열 \(\{a_n\},\;\;\{b_n\}\) 에 대하여 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 두 무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n ,\;\;\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 이 수렴하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n b_n\) 은 수렴한다. ㄴ. 두 무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n ,\;\;\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 이 발산하면 \(\lim \limits_{n \to \infty} (a_n +b_n)\) 은 수렴한다. ㄷ. 두 무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n ^3 ,\;\;..

임의의 자연수 \(p,\;q,\;r\) 에 대하여 수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =10,\;\; a_p +a_q +a_r =a_{p+q+r}\) 를 만족하고, 수열 \(\{b_n\}\) 은 \(b_1 = \dfrac{3}{5},\;\; b_p b_q = b_{p+q}\) 를 만족한다. 이때, \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n b_n}{n}\) 의 값을 구하시오. 정답 15

좌표평면에서 직선 \(y=2x\) 위의 점들 중 제\(1\)사분면에 있는 격자점을 원점 \(\rm O\) 에 가까운 쪽부터 \(\rm A_1 , \; A_2 , \; A_3 , \cdots\) 라 하고 \(y=\dfrac{1}{2} x\) 위의 점들 중 제\(1\)사분면에 있는 격자점을 \(\rm O\) 에 가까운 쪽부터 \(\rm B_1 , \; B_2 ,\; B_3 ,\; \cdots \) 이라 하자. 삼각형 \({\rm OA}_k{\rm B}_k\) 의 넓이를 \(S_k \;\; (k=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 라 하고 \(\alpha = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_1 +S_2 +S_3 + \cdots + S_n}{n^3}\) 일 때, \(60 ..

원 \(x^2 +y^2 =4^n +1 \;\; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 위의 점 \({\rm P}_n \left ( 2^n , \;1 \right )\) 에서의 접선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \({\rm Q}_n\) 이라 하자. 삼각형 \({\rm OP}_n{\rm Q}_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{S_{n+1}}{S_n}\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(\dfrac{3}{2}\) ② \(2\) ③ \(\dfrac{5}{2}\) ④ \(3\) ⑤ \(\dfrac{7}{2}\) 정답 ②

\(1000\rm mL\) 의 물이 가득 들어 있는 용기가 있다. 이 용기에서 담긴 양의 \(\dfrac{1}{2}\) 을 덜어내고 물 \(300 \rm mL\) 과 알콜 \(100 \rm mL\) 를 다시 넣는 것을 첫 번째 시행이라 하고, 이 시행 후 용기에 남아 있는 양의 \(\dfrac{1}{2}\) 을 덜어내고 물 \(300 \rm mL\) 와 알콜 \(100 \rm mL\) 를 다시 넣는 것을 두 번째 시행이라 하자. 이와 같은 과정을 한없이 반복하다고 할 때, 용기 안에 알콜의 농도(%)는? (단, 자연증발 및 기타 유실량은 무시한다.) ① \(10\%\) ② \(15\%\) ③ \(20\%\) ④ \(25\%\) ⑤ \(30\%\) 정답 ④

수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 =1, \;\; a_n +a_{n+1}=3\;\;\;(n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 을 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(a_{11}=1\) ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty} a_{2n} =2\) ㄷ. \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits _{k=1}^{n} a_k = \dfrac{3}{2}\) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

두 무한수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}\) 에 대하여 \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{b_n}{a_n} = \alpha\) 일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(\alpha\) 는 \(0\) 이 아닌 실수이다.) ㄱ. \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n =0\) 이면 \(\lim \limits_{n \to \infty} b_n =0\) 이다. ㄴ. \(\alpha=1\) 이면 \(\lim \limits _{n \to \infty} (a_n - b_n) =0\) 이다. ㄷ. \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{1}{\alpha}\) ① ㄱ ② ㄱ,..

두 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{n \to \infty} \left | b_n \right | =0\) 이면 \(\lim \limits_{n \to \infty} b_n =0\) 이다. ㄴ. \(\lim \limits _{n \to \infty} (3n+1)a_n =6\) 이면 \(\lim \limits _{n \to \infty} na_n =2\) 이다. ㄷ. 수열 \(\{a_n b_n\}\) 이 수렴하면 수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}\) 은 각각 수렴한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③