수악중독

자연수 \(m\) 에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 \(1\) 열에 \(1\) 개, \(2\) 열에 \(2\) 개, \(3\) 열에 \(3\) 개, \(\cdots\) , \(m\) 열에 \(m\) 개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다. 블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의 \(\dfrac{1}{2}\) 만큼의 블록을 그 열에서 들어낸다. 블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, \(1\) 열부터 \(m\) 열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 \(f(m)\) 이라 하자. 예를 들어, \(f(2)=2,\;\;f(3)=5,\;\;f(4)=6\) 이다. \[\lim \limits _{n \to \infty} \frac..

자연수 \(n\) 에 대하여 행렬 \(\left (\matrix { 2^n & 3^n \\ 3^n & 2^n} \right ) \) 의 역행렬의 모든 성분의 합을 \(a_n\) 이라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \( \lim \limits _{n \to \infty} a_n =0 \) ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty } {\displaystyle \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} = {\displaystyle \frac{2}{3}}\) ㄷ. \({\displaystyle \frac{1}{3^n}} < a_n < {\displaystyle \frac{1}{2^n}}\) \( n=1,\;2,\; 3,\; \cdots)\) ① ㄱ ② ㄴ..

두 무한수열 \(\{a_n \},\;\{b_n \}\)에 대한 의 설명 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 두 수열 \(\{a_n \},\;\{b_n \}\)이 발산하면 수열 \(\{a_n b_n \}\)도 발산한다. ㄴ. \(\left| {{a_n}} \right| < \left| {{b_n}} \right|\)이고 \(\lim \limits_{n \to \infty } {b_n} = 0\) 이면 \(\lim \limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\)이다. ㄷ. 무한급수 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right)} \)이 수렴하면 \(\{a_n \}\)도 수렴한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ..

다음과 같이 두 개의 무한등비수열이 있다. \(x + a,\;\;{\left( {x + a} \right)^2},\;\;{\left( {x + a} \right)^3},\;\; \cdots ,\;\;{\left( {x + a} \right)^{n - 1}},\;\; \cdots \) \(ax + 1,\;\;{\left( {ax + 1} \right)^2},\;\;{\left( {ax + 1} \right)^3},\;\; \cdots ,\;\;{\left( {ax + 1} \right)^{n - 1}},\;\; \cdots \) \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {x + a} \right)}^n}} \) 과 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\le..

\(0\) 또는 \(2\) 로만 된 수열 \(\left \{ a_n \right \}\) 에서 무한급수 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{a_n}{3^n}}\) 의 값이 \(\dfrac{3}{4}\) 일 때, \(\sum\limits_{n = 1}^{2007} {a_n}\) 의 값은? ① \(2000\) ② \(2002\) ③ \(2004\) ④ \(2006\) ⑤ \(2008\) 정답 ⑤

\(a,\;b\) 가 양수일 때, 이차방정식 \(x^2 -2ax-b=0\) 과 수열 \(\left \{ x_n \right \}\) 이 다음을 만족한다. (가) 이차방정식 \(x^2 -2ax-b=0\) 은 서로 다른 두 실근 \( \alpha,\;\beta\) 를 갖는다. (단, \(\alpha

수열 \(\left \{ a_n \right \} \) 은 다음 두 조건을 만족시킨다. (단, \(a_n \ne 2\) ) (가) \(4a_{n+1} -3a_n 2\) 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_{n+1} -2 \left ( {\dfrac{1}{2}} \right ) ^n \left ( a_1 -2 \right ) \) ㄷ. \(\lim \limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

아래 그림과 같이 원 \({\rm O_1} \;:\;(x-4)^2 +(y-3)^2 =1\) 이 있다. 원점과 원 \(\rm O_1\) 의 중심을 지나는 직선 위에 중심이 오도록 하면서 반지름의 길이가 원 \(\rm O_1\) 의 반인 원 \(\rm O_2\) 를 원 \(\rm O_1\) 에 외접하도록 그린다. 이와 같은 방법으로 계속해서 원 \(\rm O_3 , \; O_4, \; \cdots , \; O_{\it n} ,\; \cdots\) 을 그려 나간다. 각 원의 중심의 좌표를 \( \left ( x_1 , y_1 \right ) ,\; \left (x_2, \; y_2 \right ) , \; \left ( x_3 ,\; y_3 \right ),\;\cdots ,\; \left ( {\it x_n..

두 수열 \( \left \{ a_n \right \} ,\; \left \{ b_n \right \} \) 에 대하여 수열 \[ a_1,\; b_1 ,\; a_2 ,\; b_2 , \; a_3 ,\; b_3 ,\; \cdots , \; a_n , \; b_n , \; \cdots \] 은 첫째항이 \(1\) 이고 공차가 \(2\) 인 등차수열이다. \(\lim \limits_{n \to \infty } \left( {\sqrt {{a_n}} - \sqrt {{b_n}} } \right)\) 의 값은? ① \(-1\) ② \(- \dfrac{1}{2} \) ③ \(0\) ④ \(\dfrac{1}{2}\) ⑤ \(1\) 정답 ③

그림과 같이 길이가 \(24\) 인 선분 \(\rm AB_1 \) 을 \(2:1\) 로 외분하는 점을 \(\rm C_1 \) 이라 하고, 선분 \(\rm B_1 C_1 \) 을 \(1:4\) 로 외분하는 점을 \(\rm B_2\) 라 한다. 또, 선분 \(\rm AB_2\) 를 \(2:1\) 로 외분하는 점을 \(\rm C_2 \) 라 하고, 선분 \(\rm B_2 C_2\) 를 \(1:4\) 로 외분하는 점을 \(\rm B_3 \) 이라 한다. 이와 같은 방법으로 \(\rm B_4 ,\;B_5 , \; \cdots\) 을 만들어 갈 때, 무한급수 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\overline {{\rm{A}}{{\rm{B}}_n}} } \) 의 합을 구하시오. 정답 72