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목록(고1) 수학 - 문제풀이/방정식과 부등식 (235)
수악중독
$x$ 에 대한 사차방정식 $$x^4+(2a+1)x^3+(3a+2)x^2+(a+2)x=0$$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $3$ 이 되도록 하는 모든 실수 $a$ 의 값의 곱을 구하시오. 더보기 정답 $12$
두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 이차방정식 $x^2+ax+b=0$ 의 서로 다른 두 근은 $\alpha, \; \beta$ 이고, 이차방정식 $x^2+3ax+3b=0$ 의 서로 다른 두 근은 $\alpha+2, \; \beta+2$ 이다. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최솟값을 구하시오. (가) $\alpha^n + \beta^n >0$ (나) $\alpha^n + \beta^n = \alpha^{n+1}+\beta^{n+1}$ 더보기 정답 $6$
$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2-2kx-k+20=0$ 이 서로 다른 두 실근 $\alpha, \; \beta$ 를 가질 때, $\alpha \beta >0$ 을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 개수는? ① $14$ ② $15$ ③ $16$ ④ $17$ ⑤ $18$ 더보기 정답 ②
이차다항식 $P(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $P(-1)$ 의 값은? (가) 부등식 $P(x) \ge -2x-3$ 의 해는 $0 \le x \le 1$ 이다. (나) 방정식 $P(x)=-3x-2$ 는 중근을 가진다. ① $-3$ ② $-4$ ③ $-5$ ④ $-6$ ⑤ $-7$ 더보기 정답 ①
그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 변 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm P$ 라 하고, 선분 $\rm AP$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm PQ$ 의 길이를 $x$ 라 하자. $\overline{\rm AQ}^2 + \overline{\rm BQ}^2 + \overline{\rm CQ}^2$ 은 $x=a$ 에서 최솟값 $m$ 을 가진다. $\dfrac{m}{a}$ 의 값은? (단, $0
그림과 같이 빗변의 길이가 $c$ 이고 둘레의 길이가 $10$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 다음은 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 빗변의 길이 $c$ 의 범위를 구하는 과정이다. $\overline{\rm BC}=a, \; \overline{\rm CA}=b$ 라 하면 삼각형 $\rm ABC$ 의 둘레의 길이가 $10$ 이고 $\overline{\rm AB}=c$ 이므로 $$a+b=\boxed{ (가) } \cdots\cdots (1)$$ 이다. 삼각형 $\rm ABC$ 가 직각삼각형이므로 $a^2+b^2=c^2$ 에서 $$(a+b)^2-2ab=c^2 \cdots \cdots (2)$$이다. (1)을 (2)에 대입하면 $ab=\boxed{ (나) }$ 이다. $a, \; b$ 를 두 실근으..
이차함수 $y=x^2 -3x+1$ 의 그래프와 직선 $y=x+2$ 로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수는? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ⑤
$1\le x \le 2$ 에서 이차함수 $f(x)=(x-a)^2+b$ 의 최솟값이 $5$ 일 때, 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $a=\dfrac{3}{2}$ 일 때, $b=5$ 이다. ㄴ. $a \le 1$ 일 때, $b=-a^2+2a+4$ 이다. ㄷ. $a+b$ 의 최댓값은 $\dfrac{29}{4}$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤
$x$ 에 대한 사차방정식 $x^4-(2a-9)x^2+4=0$ 이 서로 다른 네 실근 $\alpha, \; \beta, \; \gamma, \; \delta \; (\alpha < \beta