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목록(고1) 수학 - 문제풀이/방정식과 부등식 (235)
수악중독
$x$ 에 대한 연립부등식 $$\begin{cases} x^2 - \left (a^2-3 \right ) x -3a^2 0 & \end{cases}$$을 만족시키는 정수 $x$ 가 존재하지 않기 위한 실수 $a$ 의 최댓값을 $M$ 이라 하자. $M^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a>2$) 더보기 정답 $10$
두 이차함수 $f(x), \; g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f(0)$, $g(x) \le g(0)$ 이다. (나) $f(0)$ 은 정수이고, $g(0)-f(0)=4$ 이다. $x$ 에 대한 방정식 $f(x)+p=k$ 의 서로 다른 실근의 개수와 $x$ 에 대한 방정식 $g(x)-p=k$ 의 서로 다른 실근의 개수가 같게 되도록 하는 정수 $k$ 의 개수가 $1$ 일 때, 실수 $p$ 의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$ 이라 하자. $m+10M$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $31$
연립부등식 $$\begin{cases} |x-k| \le 5 & \\ x^2-x-12>0 &\end{cases}$$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합이 $7$이 되도록 하는 정수 $k$의 값은? ① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$ 더보기 정답 ④
삼차방정식 $x^3-x^2-kx+k=0$의 세 근을 $\alpha, \; \beta, \; \gamma$라 하자. $\alpha, \; \beta$ 중 실수는 하나뿐이고 $\alpha^2=-2\beta$일 때, $\beta^2+\gamma^2$의 값은? (단, $k$는 $0$이 아닌 실수이다.) ① $-5$ ② $-4$ ③ $-3$ ④ $-2$ ⑤ $-1$ 더보기 정답 ⑤
최고차항의 계수가 2인 이차함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 1인 이차함수 $g(x)$가 있다. 방정식 $\{f(x)-1\}\{g(x)-1\}=0$의 모든 실근의 집합을 $A$라 하고, 방정식 $f(x)=g(x)$의 모든 실근의 집합을 $B$라 하면 두 실수 $\alpha, \; \beta \; (\alpha < \beta)$에 대하여 $$A=\{\alpha, \; \beta\}, \quad B=\{\alpha, \; \beta+3\}$$이다. 상수 $k$에 대하여 방정식 $$\{f(x)-k\}\{g(x)-k\}=0$$의 서로 다른 실근의 개수가 3이고 이 세 실근의 합이 12일 때, $\alpha+\beta+k$의 값을 구하시오. 더보기 정답 $50$
$x$ 에 대한 연립방정식 $$\begin{cases} x^2 -2x-3 \ge 0 & {}\\ x^2-(5+k)x+5k \le 0 &{} \end{cases}$$ 을 만족시키는 정수 $x$ 의 개수가 $5$ 가 되도록 하는 모든 정수 $k$ 의 값의 곱은? ① $-36$ ② $-30$ ③ $-24$ ④ $-18$ ⑤ $-12$ 더보기 정답 ④
두 복소수 $$z_1 = a+bi, \quad z_2= c+di$$ 에 대하여 $a, \; b, \; c, \; d$ 는 자연수이고 $z_1 \overline{z_1} = 10$ 일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $i=\sqrt{-1}$ 이고, $\overline{z}$ 는 복소수 $z$ 의 켤레복소수이다.) ㄱ. $a^2+b^2=10$ ㄴ. $z_1 + \overline{z_2}=3$ 이면 $c+d=5$ 이다. ㄷ. $\left (z_1 + z_2 \right ) \left ( \overline{z_1+z_2} \right ) = 41$ 이면 $z_2 \overline{z_2}$ 의 최댓값은 $17$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정..
$0 \le x \le 2$ 에서 정의된 함수 이차함수 $f(x)=x^2-2ax+2a^2$ 의 최솟값이 $10$ 일 때, 함수 $f(x)$ 의 최댓값을 구하시오. (단, $a$ 는 양수이다.) 더보기 정답 $18$
이차함수 $f(x)=a(x-1)^2 - 10$ ($a$ 는 양의 상수)와 실수 $k$ 에 대하여 $k-1 \le x \le k+1$ 에서 함수 $|f(x)|$ 의 최댓값을 $g(k)$ 라 할 때, 함수 $g(k)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $g(k)=10$ 을 만족시키는 실수 $k$ 의 최댓값은 $\sqrt{10}$ 이다. 함수 $g(k)$ 가 $k=b$ 와 $k=c$ 에서 최솟값 $m$ 을 가질 때, $b^2+c^2+m^2$ 의 값을 구하시오. (단, $b, \; c$ 는 서로 다른 상수이다.) 더보기 정답 $74$
이차방정식 $x^2+2x+3=0$ 의 서로 다른 두 근을 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $\dfrac{1}{\alpha^2+3\alpha+3} + \dfrac{1}{\beta^2 + 3\beta +3}$ 의 값은? ① $-\dfrac{1}{3}$ ② $-\dfrac{1}{2}$ ③ $-\dfrac{2}{3}$ ④ $-\dfrac{5}{6}$ ⑤ $-1$ 더보기 정답 ③