수악중독

$x$ 에 대한 이차부등식 $$\left (2x-a^2+2a \right ) (2x-3a) \le 0$$ 의 해가 $\alpha \le x \le \beta$ 이다. 두 실수 $\alpha, \; \beta$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 실수 $a$ 값의 합을 구하시오. (가) $\beta-\alpha$ 는 자연수이다. (나) $\alpha \le x \le \beta$ 를 만족하는 정수 $x$ 의 개수는 $3$ 이다. 더보기 정답 $6$

$x$ 에 대한 이차부등식 $$x^2-(n+5)x+5n \le 0$$ 을 만족시키는 정수 $x$ 의 개수가 $3$ 이 되도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합은? ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 더보기 정답 ③

양수 $a$ 에 대하여 $0 \le x \le a$ 에서 이차함수 $$f(x)=x^2-8x+a+6$$ 의 최솟값이 $0$ 이 되도록 하는 모든 $a$ 의 값의 합은? ① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ①

$9$ 이하의 자연수 $n$ 에 대하여 다항식 $P(x)$ 가 $$P(x)=x^4+x^2-n^2-n$$ 일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $P \left (\sqrt{n} \right )=0$ ㄴ. 방정식 $P(x)=0$ 의 실근의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. 모든 정수 $k$ 에 대하여 $P(k) \ne 0$ 이 되도록 하는 모든 $n$ 의 값의 합은 $31$ 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤

연립부등식 $$\begin{cases} x^2-x-56 \le 0 \\ 2x^2-3x-2>0\end{cases}$$ 을 만족시키는 정수 $x$ 의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $13$

등식 $(p+2qi)^2= -16i$ 를 만족시키는 두 실수 $p, \; q$ 는 $x$ 에 대한 이차방정식 $x^2+ax+b=0$ 의 두 실근이다. 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a^2+b^2$ 의 값은? (단, $p>0$ 이고 $i= \sqrt{-1}$ 이다.) ① $16$ ② $18$ ③ $20$ ④ $22$ ⑤ $24$ 더보기 정답 ②

이차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(-4)=0$ (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \le f(-2)$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f(0)=0$ ㄴ. $-1 \le x \le 1$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값은 $f(1)$ 이다. ㄷ. 실수 $p$ 에 대하여 $p \le x \le p+2$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값을 $g(p)$ 라 할 때, 함수 $g(p)$ 의 최댓값이 $1$ 이면 $f(-2) = \dfrac{4}{3}$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤

삼차방정식 $x^3+2x^2-3x+4=0$ 의 세 근을 $\alpha, \; \beta, \; \gamma$ 라 할 때, $(3+\alpha)(3+\beta)(3+\gamma)$ 의 값은? ① $-5$ ② $-4$ ③ $-3$ ④ $-2$ ⑤ $-1$ 더보기 정답 ②

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 복소수 $z=a+2bi$ 가 $z^2 + \left (\overline{z} \right )^2 = 0$ 을 만족시킬 때, $6a+12b^2+11$ 의 최솟값은? (단, $i=\sqrt{-1}$ 이고 $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ③

자연수 $n$ 에 대하여 그림과 같이 함수 $y=x^2$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $n$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $3$ 만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 $y=f(x)$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 $f(x)$ 의 최솟값은 $3$ 이다. ㄴ. $n=3$ 일 때, 방정식 $f(x)=10$ 의 서로 다른 두 실근의 합은 $6$ 이다. ㄷ. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프는 직선 $y=x-\dfrac{3n-4}{2}$ 와 만나지 않는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤