수악중독

삼차함수 $f(x)=x^3 -mx^2 +nx$ 는 극댓값과 극솟값을 모두 가지며 극솟값은 $0$ 보다 크다. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 $(1,\;2)$ 를 지날 때, 두 자여연수 $m,\;n$ 에 대하여 $m+n$ 의 값을 구하시오. 정답 9

${\dfrac{\sin \theta}{\sin \theta \sin 2\theta}} +{\dfrac{\sin \theta}{\sin 2\theta \sin 3\theta}}+ \cdots +{\dfrac{\sin \theta}{\sin 99\theta \sin 100\theta}}$ 를 간단히 하면? ① $\tan \theta - \tan \theta \cos \theta$ ② $\cot \theta - \cot 100 \theta$ ③ $\sin \theta - \sin 100\theta$ ④ $\cos \theta \left ( \cot \theta - \cot 100 \theta \right )$ ⑤ \(\tan \theta \left ( \sin \theta - \sin 10..

$\overline {\rm AB} =a ,\;\; \overline {\rm AD} = b \;\;\;(a>b>0)$ 인 직사각형 모양의 종이 $\rm ABCD$ 가 있다. 그림과 같이 대각선 $\rm BD$ 의 중점 $\rm M$ 을 지나고 $\rm BD$ 에 수직인 직선 $\rm EF$ 를 접는 선으로 하여 평면 $\rm AEFD$ 와 평면 $\rm EBCF$ 가 수직이 되도록 접었다. 이 공간도형에서 $\angle \rm CFD$ 의 크기를 \(\theta \;\;(0

두 다항방정식 $P(x)=0,\;\; Q(x)=0$ 의 실근의 개수가 각각 $3$개, $5$개일 때, 세 집합$A=\left \{ (x,\;y) \;|\; \dfrac{P(x)}{P(y)}=0,\;\; x와 \; y는 \; 실수 \right \}$ $B=\left \{ (x,\;y) \;|\; \dfrac{Q(y)}{Q(x)}=0,\;\; x와 \; y는 \; 실수 \right \}$ $C=\left \{ (x,\;y) \;|\; \dfrac{P(x)}{Q(y)}=0,\;이고\; \dfrac{P(y)}{Q(x)}=0,\;\; x와 \; y는 \; 실수 \right \}$ 에 대한 다음 의 설명 중에서 옳은 것을 모두 고르면? ㄱ. $P(x)=0,\; Q(x)=0$ 이 공통실근을 ..

두 수열 $\{a_n\},\; \{ b_n\}$ 에 대하여$b_n=\frac {a_1 +2a_2 +3a_3 + \cdots + na_n}{1+2+\cdots+n}\;\;\; (n \ge 1)$ 이 성립한다. 다음은 $\{a_n\}$ 이 등차수열이기 위한 필요충분조건은 $\{b_n\}$ 이 등차수열임을 증명하는 과정이다. 수열 $\{a_n\}$ 을 첫째항 $a$, 공차 $d$ 인 등차수열이라 하면 $b_n = {\dfrac{a+2(a+d)+3(a+2d)+\cdots+n \left \{ a+(n-1)d \right \}}{1+2+\cdots+n} }$ \(={\dfrac{a(1+2+\cdots+n)+d \{2+3\cdot 2+ \cdots + n \cdot (n-1)\} }..

그림과 같이 정육각형 $\rm ABCDEF$ 의 두 대각선 $\rm AC,\; CE$ 위에 $\overline {\rm AM} = \overline {\rm CN}$ 이 되도록 각각 $\rm M,\; N$ 을 잡는다. 다음은 세 점 $\rm B, \; M,\; N$ 이 일직선 위에 있으면 세 각 $\rm \angle BNC,\; \angle CND, \angle DNE$ 의 크기는 이 순서로 등차수열을 이룸을 증명한 것이다. $\overline {\rm CM} = (가) , \;\; \angle {\rm BCM}= \angle {\rm DEN} = 30^o$ 이므로 $\triangle \rm BCM \equiv \triangle DEN$ \( \therefore \rm \..

직원뿔대 모양의 커피 잔 $A$ 와 직원기둥 모양의 커피 잔 $B$ 가 있다. 커피 잔 $A$ 의 윗면의 반지름의 길이를 $a$, 아랫면의 반지름의 길이를 $b$, 커피 잔 $B$ 의 반지름의 길이를 $c$ 라 할 때, $a,\;c,\;b$ 순으로 등차수열을 이루고, $a:b=3:1$ 이며 각각의 높이는 윗면과 아랫면의 반지름의 길이의 합과 같다. $A,\;B$ 두 커피 잔에 커피를 높이의 $\dfrac{1}{2}$ 까지 부었을 때, 커피의 양을 각각 $V_A , \; V_B$ 라 하자. $\dfrac{V_A}{V_B}$ 의 값을 $\dfrac{q}{p}$ ($p,\;q$ 는 서로소인 자연수)라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. 정답 19

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 와 한 변의 길이가 $r$ 인 정삼각형 $\rm DEF$ 를 겹쳐서 점 $\rm E$ 가 $\overline {\rm BC}$ 위에 오도록 정삼각형 $\rm GEC$ 를 만들고, $\overline {\rm EG} = \overline {\rm GH}$ 가 되도록 점 $\rm H$ 를 $\overline {\rm DG}$ 위에 잡는다. $\triangle {\rm GEC},\; \triangle {\rm AGH},\; \triangle {\rm DEF}$ 의 각각의 넓이가 이 순서로 공비가 $r$ 인 등비수열을 이룰 때, $r$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $2$ ③ ..

$1$ 부터 $99$ 까지의 홀수 중 서로 다른 $10$ 개를 택하여 그들의 합을 $S$ 라 하자. 이러한 $S$ 의 값 중 서로 다른 것을 작은 수부터 차례로 $a_1 , \; a_2 , \; a_3 , \; \cdots$ 이라 할 때, $a_{100}$ 의 값은? ① $268$ ② $278$ ③ $288$ ④ $298$ ⑤ $308$ 정답 ④

$n$ 개의 항으로 이루어진 등차수열 $a_1 , \; a_2 , \; a_3 ,\; \cdots , \; a_n$ 이 다음 조건을 만족한다. (가) 처음 $4$ 개 항의 합은 $26$ 이다. (나) 마지막 $4$ 개 항의 합은 $134$ 이다. (다) $a_1 +a_2 +a_3 +\cdots+a_n =260$ 이 때, $n$ 의 값을 구하시오. 정답 13