수학1_수열_여러 가지 수열_여러 가지 합공식_난이도 중

두 수열 \(\{a_n\},\; \{ b_n\} \) 에 대하여\[b_n=\frac {a_1 +2a_2 +3a_3 + \cdots + na_n}{1+2+\cdots+n}\;\;\; (n \ge 1) \] 이 성립한다. 다음은 \(\{a_n\}\) 이 등차수열이기 위한 필요충분조건은 \(\{b_n\}\) 이 등차수열임을 증명하는 과정이다.

수열 \(\{a_n\}\) 을 첫째항 \(a\), 공차 \(d\) 인 등차수열이라 하면

\(b_n = {\dfrac{a+2(a+d)+3(a+2d)+\cdots+n \left \{ a+(n-1)d \right \}}{1+2+\cdots+n} } \)

     \(={\dfrac{a(1+2+\cdots+n)+d \{2+3\cdot 2+ \cdots + n \cdot (n-1)\} }{1+2+\cdots+n}}\) 

     \(=a+{\dfrac {2d \left \{ (가)- {\dfrac{n(n+1)}{2}} \right \} }{n(n+1)}}\) 

     \(= a+(나) \cdot (n-1)\)

이므로 \(\{b_n\}\) 은 공차가 (나) 인 등차수열이다.
역으로 \(\{b_n\}\) 을 등차수열이라 하면

\( b_{n+1} = {\dfrac{a_1 +2a_2 + 3a_3 +\cdots + na_n }{1+2+\cdots+(n+1)}} + {\dfrac{(n+1) a_{n+1}}{1+2+\cdots+(n+1)}}\)

        \(=(다) \cdot b_n + {\dfrac {2}{n+2}} a_{n+1} \)
  \(\vdots\)
이므로 수열 \(\{a_n\}\) 은 등차수열이다. 

위의 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	\[(가)\]	\[(나)\]	\[(다)\]
\[①\]	\[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]	\[\frac{2}{3} d\]	\[\frac{n}{n+2}\]
\[②\]	\[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]	\[ \frac{2}{3} d \]	\[ \frac{n-1}{n+2} \]
\[③\]	\[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} \]	\[ \frac{3}{2} d \]	\[ \frac{n}{n+2} \]
\[④\]	\[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} \]	\[ \frac{2}{3} d \]	\[ \frac{n}{n+2} \]
\[⑤\]	\[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} \]	\[ \frac{3}{2} d \]	\[ \frac{n+1}{n+2} \]

정답 ①