수악중독

자연수 \(n\) 과 \(0 \le p < r \le n+1,\;\;\; 0 \le q

자연수 \(n\) 에 대하여 \(n^2\) 을 \(6\) 으로 나눈 나머지를 \(a_n\) 이라 할 때, \(a_n =4\) 를 만족시키는 \(100\) 이하의 자연수 \(n\) 의 개수를 구하시오. 정답 34

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =2\) 이고, \[a_{n+1} = a_n + (-1)^n \dfrac{2n+1}{n(n+1)} \;\; (n \ge 1)\] 을 만족시킨다. \(a_{20}=\dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 39

그림은 직사각형 모양을 이루고 있는 \((5 \times 100)\) 개의 칸에 다음 규칙에 따라 수를 나열한 것이다. (가) 제 \(1\) 행에는 \(1,\;2,\;3,\; \cdots ,\; 100\) 을 차례로 나열하고, 각 행의 첫 칸에는 모두 \(1\) 을 나열한다. (나) 그림에 있는 \((2\times 2)\) 개의 칸으로 이루어진 임의의 직사각형 \( \matrix {a & b \\ c &d}\) 에서 등식 \( d= \left | b-c \right |\) 가 성립하도록 한다. 예를 들면, \(\matrix {4 &5 \\ 2 & 3}\) 에서 \(3= \left |5-2 \right | \) 가 성립한다. 이때 제 \(5\) 행 (어두운 부분)에 나열된 \(100\) 개의 수의 합을 구..

정사면체 \(T_1\) 의 모든 모서리의 삼등분점을 잡는다. \(T_1\) 의 각 꼭짓점에서 가까운 삼등분점 \(3\) 개와 그 꼭짓점을 모두 이어서 만든 사면체 \(4\) 개를 잘라내어 팔면체 \(T_2\) 를 만든다. 다시 팔면체 \(T_2\) 의 모든 모서리의 삼등분점을 잡는다. \(T_2\) 의 각 꼭짓점에서 가까운 삼등분점 \(3\) 개와 그 꼭짓점을 모두 이어서 만든 사면체 \(12\) 개를 잘라내어 이십면체 \(T_3\) 를 만든다. 이와 같은 방법으로 다면체 \(T_4 , \; T_5 ,\; T_6\) 을 만들 때, 다면체 \(T_6\) 의 며면의 개수는? ① \(480\) ② \(482\) ③ \(484\) ④ \(486\) ⑤ \(488\) 정답 ⑤

\(n\) 단으로 된 계단을 \(1\) 단씩, \(2\) 단씩 혹은 섞어서 오르는 방법의 가지수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(a_n ,\;\; a_{n-1} ,\;\;a_{n-2}\) 의 관계식을 구하고, 이를 이용하여 \(a_{10}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(a_n = a_{n-1} +a_{n-2},\;\;\;a_{10}=89\)

자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n\) 이 원 \(x^2 +y^2 =1\) 위의 점일 때, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (단, 점 \({\rm P}_n\) 은 좌표축 위의 점이 아니다.) (가) 점 \({\rm P}_n\) 이 제 \(1\) 사분면 위의 점이면, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n\) 을 원 위의 호를 따라 시계 반대 방향으로 \(\dfrac{\pi}{2}\) 만큼 이동시킨 점이다. (나) 점 \({\rm P}_n\) 이 제 \(2\) 사분면 또는 제 \(4\) 사분면 위의 점이면, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n\) 을 \(x\) 축에 대하여 대칭이동시킨 점이다. (다) ..

\(a_1 =2, \; a_2 =1, \;\;a_{n+1} a_n - 2a_{n+2} a_n +a_{n+1} a_{n+2} =0 \;\; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 으로 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(\sum \limits _{k=1}^{20} {\displaystyle \frac{1}{a_k}}\) 의 값을 구하시오. 정답 105

그림과 같이 나무에 \(55\) 개의 전구가 맨 위 첫 번째 줄에는 \(1\) 개, 두 번째 줄에는 \(2\) 개, 세 번째 줄에는 \(3\) 개, \(\cdots\), 열 번째 줄에는 \(10\) 개가 설치되어 있다. 전원을 넣으면 이 전구들은 다음 규칙에 따라 작동한다. (가) \(n\) 이 \(10\) 이하의 자여연수일 때, \(n\) 번째 줄에 있는 전구는 \(n\) 초가 되는 순간 처음 켜진다. (나) 모든 전구는 처음 켜진 후 \(1\) 초 간격으로 꺼짐과 켜짐을 반복한다. 전원을 넣고 \(n\) 초가 되는 순간 켜지는 모든 전구의 개수를 \(a_n\) 이라고 하자. 예를 들어, \(a_1 =1,\;a_4 =6,\; a_{11} =25\) 이다. \(\sum \limits _{n=1}^{14}..

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =1\) 이고, \(a_n = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-1} (2k+1)a_k \;\;(n\ge 2)\) 를 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정의 일부이다. 주어진 식으로부터 \(a_2 =7\) 이다. 자연수 \(n \;\; ( n \ge 3) \) 에 대하여 \(a_n = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-1} (2k+1)a_k = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-2} (2k+1)a_k +(2n-1) a_{n-1} \) \(= n^2 + a_{n-1} - (가) + (2n-1) a_{n-1} \) 이므로, \(a_n +1 = 2n ( a_{n-1} +1 )\) 이 성립한다. 따..