수악중독

수직선 위에 점 \({\rm P}_n \;\; (n= 1, \; 2,\; 3,\; \cdots)\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \(\rm P_1\) 의 좌표는 \(\rm P_1 (0)\) 이다. (나) \(\overline {\rm P_1 P_2} =1 \) 이다. (다) \(\overline {{\rm P}_n {\rm P}_{n+1}} = \dfrac{n-1}{n+1} \times \overline{{\rm P}_{n-1} {\rm P}_n} \;\;\; (n=2,\;3,\;4,\;\cdots)\) 선분 \({\rm P}_n {\rm P}_{n+1} \) 을 밑변으로 하고 높이가 \(1\) 인 직각삼각형의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. \(S_1 +S_2 +S_3 + \cdots +..

정삼각형 \(\rm ABC\) 에서 변 \(\rm AC\) 를 \((n+1)\) 등분한 점을 각각 \(\rm A_1 ,\;A_2 ,\; A_3 , \; \cdots,\;A_{\it n}\) 이라 하고, 변 \(\rm BC\) 를 \((n+1)\) 등분한 점을 각각 \(\rm B_1 ,\;B_2 ,\; B_3 , \; \cdots,\;B_{\it n}\) 이라 하자. 다음 [단계] 와 같은 순서로 선분을 긋는다. [단계1] 꼭짓점 \(\rm C\) 와 선분 \(\rm AB\) 의 중점 \(\rm M\) 을 여연결한 선분 \(\rm CM\) 을 긋는다. [단계2] 꼭짓점 \(\rm A\) 와 점 \(\rm B_1 ,\;B_2 ,\; B_3 , \; \cdots,\;B_{\it n}\) 을 각각 연결한 선분 ..

다음은 \(A= \left ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right ) \) 일 때, \(A^n\) 을 구하는 과정이다. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(A^n = \left ( \begin{matrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{matrix} \right ) \) 이라 하자. 행렬의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하여 \(A^{n+1} = A \cdot A^n = A^n \cdot A\) 이므로 $$\begin{aligned} \left ( \begin{matrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{matrix} \right ) &= \left ( \begin{matrix} 1 &..

수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_n =3+(-1)^n\) 일 때, 좌표평면 위의 점 \({\rm P}_n\) 을 \[{\rm P}_n \left (a_n \cos \dfrac{2n\pi}{3}, \; a_n \sin \dfrac{2n\pi}{3} \right )\] 라 하자. 점 \({\rm P}_{2009}\) 와 같은 점은? ① \(\rm P_1\) ② \(\rm P_2\) ③ \(\rm P_3\) ④ \(\rm P_4\) ⑤ \(\rm P_5\) 정답 ⑤

수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. (단, \(a_1

다음은 등식 \[\sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5}\] 가 성립함을 증명한 것이다. \(\sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3)\) \(=\sum \limits_{k=1}^{n} (가) \) \(=4! \left \{ \dfrac{4!}{4! \times 0!} + \dfrac{5!}{4! \times 1!} + \cdots + \dfrac{(n+3)!}{4! \times (n-1)!} \right \} \) \(=4! \cdot \sum \limits_{k=1}^{n} (나)\) \(= 4! \cdot (다)\) \(=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5}\)..

수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 =0,\; a_n + a_{n+1} =n\) 을 만족시킨다. 다음은 두 자연수 \(m,\;n\) 에 대하여 \(\sum \limits _{k=n-m+1}^{n+m} a_k \) 의 값을 구하는 과정이다. (단, \(m

한 면은 흰 색, 다른 며면은 검은색인 같은 크기의 정사각형 모양의 카드를 다음 규칙에 의해 그림과 같이 놓는다. [1단계] 검은색 면이 보이도록 카드를 한 개 놓는다. [2단계] 1단계에서 놓여진 카드를 흰 색 며면이 보이도록 뒤집고, 그 카드 위쪽과 오른쪽에 검은색 며며니 보이도록 두 개의 카드를 놓는다. [3단계] 2단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 2단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 세 개의 카드를 놓는다. \(\vdots\) [\(n\)단계] \(n-1\) 단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 \(n-1\) 단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 \(n\) 개의 카드를 놓는다. \(n\) 단계에서 보이는 면의 색..

좌표평면에서 점 \(\rm A_{\it n}\) \((n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \(\rm A_1\) 의 좌표는 \((0,\;0)\) 이다. (나) 점 \({\rm A}_{4n-3}\) 을 \(x\) 축 방향으로 \((4n-3)\) 만큼 평행이동시킨 점은 \({\rm A}_{4n-2}\) 이다. (다) 점 \({\rm A}_{4n-2}\) 을 \(y\) 축 방향으로 \((4n-2)\) 만큼 평행이동시킨 점은 \({\rm A}_{4n-1}\) 이다. (라) 점 \({\rm A}_{4n-1}\) 을 \(x\) 축 방향으로 \((4n-1)\) 만큼 평행이동시킨 점은 \({\rm A}_{4n}\) 이다. (마) 점 \({\rm A}_{4n}\) 을 \(..

한 개의 정삼각형에서 각 변의 중점을 선분으로 이으면 \(4\) 개의 작은 정삼각형이 생긴다. 이때, 가운데 정삼각형 하나를 잘라내면 \(3\) 개의 정삼각형이 남는다. 남은 \(3\) 개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 반복하면 모두 \(9\) 개의 정삼각형이 남고, 다시 \(9\) 개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 계속하여 만들어지는 도형을 나타낸 것이다. 두 정삼각형이 공유하는 꼭짓점은 한 개의 꼭짓점으로 셀 때, \(n\) 번째 도형에서 남은 정삼각형들의 꼭짓점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(a_1 =6, \; a_2 =15\) 이다. \(a_5\) 의 값은? ① \(366\) ② \(376\) ③ \(386\) ④ \(396\) ⑤\(406\) 정답 ①