수학1_여러 가지 수열_시그마 합공식_난이도 중

자연수 \(n\) 과 \(0 \le p < r  \le n+1,\;\;\; 0 \le q <s \le n\) 을 만족시키는 네 정수 \(p,\;q,\;r,\;s\) 에 대하여 좌표평면에서 네 점 \({\rm A}(p,\;q),\;\; {\rm B}(r,\;q),\;\; {\rm C}(r,\;s),\;\;{\rm D}(p,\;s)\) 를 꼭짓점으로 하고 넓이가 \(k^2\) 인 정사각형의 개수를 \( a_k\) 라고 하자. 다음은 \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_k \) 의 값을 구하는 과정이다.
(단, \(k\) 는 \(n\) 이하의 자연수이다.)

그림과 같이 넓이가 \(k^2\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 를 만들 때, 두 점 \(\rm A,\;B\) 의 \(y\) 좌표가 주어지면 \(x\) 좌표의 차가 \(r-p=k\) 인 변 \(\rm AB\) 를 택하는 경우의 수는 (가) 이다. 또 두 점 \(\rm A,\;D\) 의 \(x\) 좌표가 주어지면 \(y\) 좌표의 차가 \(s-q=k\) 인 변 \(\rm AD\) 를 택하는 경우의 수는 (나) 이다. 따라서 \[a_k = (n+1)(n+2)-(2n+3)k +k^2\] 이다. 그러므로 \[\sum \limits _{k=1}^{n} a_k = \sum \limits _{k=1}^{n} \left \{ (n+1)(n+2)-(2n+3)k+k^2 \right \}= (다)\]

 
(가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	\[n-k+1\]	\[n-k+2\]	\[\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}\]
②	\[n-k+2\]	\[n-k+1\]	\[\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}\]
③	\[n-k+1\]	\[n-k+2\]	\[\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\]
④	\[n-k+2\]	\[n-k+1\]	\[\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\]
⑤	\[n-k+1\]	\[n-k+2\]	\[\dfrac{n(n+1)(n+2)}{2}\]

 

정답 ④