수학1_여러 가지 수열_시그마 합공식_난이도 중

자연수 $n$ 과 $0 \le p < r  \le n+1,\;\;\; 0 \le q <s \le n$ 을 만족시키는 네 정수 $p,\;q,\;r,\;s$ 에 대하여 좌표평면에서 네 점 ${\rm A}(p,\;q),\;\; {\rm B}(r,\;q),\;\; {\rm C}(r,\;s),\;\;{\rm D}(p,\;s)$ 를 꼭짓점으로 하고 넓이가 $k^2$ 인 정사각형의 개수를 $a_k$ 라고 하자. 다음은 $\sum \limits _{k=1}^{n} a_k$ 의 값을 구하는 과정이다.
(단, $k$ 는 $n$ 이하의 자연수이다.)

그림과 같이 넓이가 $k^2$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 를 만들 때, 두 점 $\rm A,\;B$ 의 $y$ 좌표가 주어지면 $x$ 좌표의 차가 $r-p=k$ 인 변 $\rm AB$ 를 택하는 경우의 수는 (가) 이다. 또 두 점 $\rm A,\;D$ 의 $x$ 좌표가 주어지면 $y$ 좌표의 차가 $s-q=k$ 인 변 $\rm AD$ 를 택하는 경우의 수는 (나) 이다. 따라서 $a_k = (n+1)(n+2)-(2n+3)k +k^2$ 이다. 그러므로 $\sum \limits _{k=1}^{n} a_k = \sum \limits _{k=1}^{n} \left \{ (n+1)(n+2)-(2n+3)k+k^2 \right \}= (다)$

 
(가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	$n-k+1$	$n-k+2$	$\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$
②	$n-k+2$	$n-k+1$	$\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$
③	$n-k+1$	$n-k+2$	$\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
④	$n-k+2$	$n-k+1$	$\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
⑤	$n-k+1$	$n-k+2$	$\dfrac{n(n+1)(n+2)}{2}$

 

정답 ④