수학1_여러 가지 수열_난이도 중

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =1\) 이고, \(a_n = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-1} (2k+1)a_k \;\;(n\ge 2)\) 를 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정의 일부이다.

주어진 식으로부터 \(a_2 =7\) 이다.
자연수 \(n \;\; ( n \ge 3) \) 에 대하여
\(a_n = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-1} (2k+1)a_k = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-2} (2k+1)a_k +(2n-1) a_{n-1} \)
      \(= n^2 + a_{n-1} - (가) + (2n-1) a_{n-1} \) 이므로, 
\(a_n +1 = 2n ( a_{n-1} +1 )\) 이 성립한다. 따라서
\( a_n +1 = n \times (n-1)\times \cdots \times 3 \times (나) \times (a_2 +1)\)
            \(=4\times n! \times (나) \) 이다.  

위의 (가)에 알맞은 식을 \(f(n)\), (나)에 알맞은 식을 \(g(n)\) 이라 할 때, \(f(9)\times g(9)\) 의 값은?

① \(2^{13}\)          ② \(2^{14}\)          ③ \(2^{15}\)           ④ \(2^{16}\)           ⑤ \(2^{17}\)
 

정답 ①