수악중독

좌표평면 위의 점 \({\rm A}_n \;(n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 을 다음 규칙에 따라 정할 때, 삼각형 \(\rm A_1 A_{17} A_{34}\) 의 넓이는? (가) 점 \(\rm A_1\) 의 좌표는 \((1,\;1)\) 이다. (나) 점 \({\rm A}_{4n-3}\) 을 \(x\) 축의 양의 방향, \(y\) 축의 양의 방향으로 각각 \(4n-3\) 만큼 평행이동한 점은 \({\rm A}_{4n-2}\) 이다. (다) 점 \({\rm A}_{4n-2}\) 를 \(x\) 축의 음의 방향, \(y\) 축의 양의 방향으로 각각 \(4n-2\) 만큼 평행이동한 점은 \({\rm A}_{4n-1}\) 이다. (라) 점 \({\rm A}_{4n-1}\) 을 \(x\) 축의 음의 ..

그림과 같이 \(\rm A_1 (1,\;0),\;\;A_2 (-1,\;0),\;\;A_3 (2,\;0), \;\;A_4 (-2,\;0),\;\;\cdots\) 에 대하여 \(\overline {\rm OA_1}\) 을 지름으로 하는 반원을 \(C_1\), \(\overline{\rm A_1 A_2}\) 를 지름으로 하는 반원을 \(C_2\), \(\overline{\rm A_2 A_3}\) 를 지름으로 하는 반원을 \(C_3\)라 하자. 이와 같은 방법으로 만든 반원 \(C_k\;\;(k=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 의 호의 길이를 \(l_k\) 라 하자. \(\sum \limits_{k=1}^{n} l_k =189 \pi\) 를 만족시키는 \(n\) 에 대하여, \({\rm A}_n\) 의 ..

두 함수 \(f(x)=\log _2 x \) 와 \(g(x)=- \log _2 x\) 의 그래프의 교점을 \(\rm A_1\), 직선 \(x=2\) 가 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y=g(x)\) 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm B_1 ,\; A_2 ,\; C_1\) 이라 하고 삼각형 \(\rm A_1 B_1 C_1\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 직선 \(x=2^2\) 이 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y=g(x)\) 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm B_2 ,\; A_3 ,\; C_2\) 이라 하고 삼각형 \(\rm A_2 B_2 C_2\) 의 넓이를 \(S_2\) 이라 하자. 직선 \(x=2^3\) 가 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y..

수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(a_1 =1,\;\; a_1 +a_2 +a_3 + \cdots + a_n = n^2 a_n\) 일 때, \(a_{2009}\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2009 \cdot 2010}\) ② \(\dfrac{1}{2008 \cdot 2010}\) ③ \(\dfrac{1}{2008 \cdot 2009}\) ④ \(\dfrac{1}{1005 \cdot 2009}\) ⑤ \(\dfrac{1}{1004 \cdot 2008}\) 정답 ④

어떤 학생이 계발활동 시간에 목걸이를 만들고자 한다. 그림과 같이 세 종류의 인조 보석 다이아몬드, 구, 별 을 사용하여 처음에는 다이아몬드 1개, 구 1개, 별 2개를 꿰고 난 뒤, 다음 규칙을 순서대로 반복한다. \(\rm I\). 다이아몬드는 바로 전 단계에서 꿴 다이아몬드의 개수보다 \(1\) 개 더 많이 꿴다. \(\rm II\). 구는 바로 전 단계에 꿴 구의 개수보다 \(2\) 개 더 많이 꿴다. \(\rm III\). 별은 \(\rm I,\; II\) 에서 꿴 다이아몬드와 구의 개수를 더한 만큼 꿴다. 인조 보석 \(200\) 개를 사용하여 목걸이를 만들었을 때, 목걸이에 있는 구의 개수를 구하시오. 정답 64

한 변의 길이가 \(4\) 인 정육면체가 있다. [그림 1]은 이 정육면체의 각 모서리를 수직이등분하여 분리된 정육면체들을 나타낸 것이다. [그림 2]는 [그림 1]의 정육면체들의 각 모서리를 수직이등분하여 분리된 정육면체들을 나타낸 것이다. 이와 같은 시행을 계속해 나갈 때, \(5\) 회 시행 후 분리된 모든 정육면체들의 겉넓이의 합은? ① \(3 \times 2^{10}\) ② \(3 \times 2^{12}\) ③ \(3 \times 2^{15}\) ④ \(3 \times 2^{17}\) ⑤ \(3 \times 2^{20}\) 정답 ①

자연수 \(n,\;x,\;y\) 에 대하여 \(\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \;\;(x \le y) \) 과 같이 \(\dfrac{1}{n}\) 을 두 분수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 \(a_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(1= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \) 이므로 \(a_1\ = 1\), \(\dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\) 이므로 \(a_2 =2\), \(\dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}\) 이므로 \(a_3 =2\) 이다. 다음..

수열 \(\{a_n\}\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \[1\cdot 2a_1 + 3 \cdot 4a_2 +5 \cdot 6 a_3 + \cdots + (2n-1)\cdot 2na_n \ge n\]을 만족시킬 때, 다음은 부등식 \[a_1 +a_2 +a_3 +\cdots + a_n \ge \;(가)\]이 성립함을 증명한 것이다. \(a_1 +a_2 +a_3 +\cdots +a_n\) \(=\left (1- \dfrac{1}{2} \right ) \left (1 \cdot 2a_1 \right )+ \left (\dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4} \right ) \left (3 \cdot 4a_2 \right ) + \left (\dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{6} \ri..

아래에서 제 \(n\) 행은 \(n\) 의 양의 약수를 나열한 것이다. 제 \(1\) 행부터 제 \(20\) 행까지 나열된 수의 개수를 구하시오. 정답 66

서로 다른 자연수 \(a_1 , \; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots , \; a_n\) 에 대하여 \(a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_n ^2 = 2340\) 을 만족시키는 \(n\) 의 최댓값을 찾는 과정이다. \(\sum \limits _{k=1}^{m} k^2 >2340\) 을 만족시키는 자여연수의 \(m\) 의 최솟값은 (가) 이다. 따라서, \(a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_n ^2 = 2340\) 을 만조족시키는 \(n\) 의 최댓값은 (가)보다 작거나 같다. 한편, \(\sum \limits _{k=1}^{20} k^2 - \left ( 19^2 +(나) \right ) =2340\) 이므로 \(n\) 의 최댓값은 (다) 이다. 위 과정에서..