수학1_여러 가지 수열_행렬과 점화식_난이도 중

다음은 \(A= \left ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right ) \) 일 때, \(A^n\) 을 구하는 과정이다.
 

모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(A^n = \left ( \begin{matrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{matrix} \right ) \) 이라 하자.

행렬의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하여 \(A^{n+1} = A \cdot A^n = A^n \cdot A\) 이므로
$$\begin{aligned} \left ( \begin{matrix}  a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{matrix} \right ) &= \left ( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix}  a_n  & b_n \\ c_n & d_n \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix}  a_n +c_n & b_n +d_n \\ 2c_n & 2d_n \end{matrix} \right ) \\[12pt]  &= \left ( \begin{matrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix}  1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix}  a_n & a_n +2b_n \\ c_n & c_n +2d_n \end{matrix} \right ) \end{aligned} $$ 이다. 

따라서 \(\left\{ {\begin{array}{ll}{{a_{n + 1}} = {a_n} + {c_n} = {a_n}}\\{{b_{n + 1}} ={b_n} +{d_n} = {a_n} + 2{b_n}}\\{{c_{n + 1}} = 2{c_n} = {c_n}}\\{{d_{n + 1}} = 2{d_n} = {c_n} +2{d_n}}\end{array}} \right.\) 이므로

\(b_{n+1}=2b_n + \;(가)\;\) 이고, \(d_{n+1}=\;(나)\) 이다.

\(\therefore A^n = \;(다)\;\) 이다. 

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	\[\dfrac{1}{2}\]	\[2^n\]	\[\left ( \begin{matrix} 1 & 2^n -1 \\ 0 & 2^{n+1} \end{matrix} \right ) \]
②	\[\dfrac{1}{2} \]	\[2^{n+1}\]	\[ \left ( \begin{matrix} 1 & 2^{n+1} \\ 0 & 2^n -1 \end{matrix} \right ) \]
③	\[1\]	\[2^n\]	\[ \left ( \begin{matrix} 1 & 2^n -1 \\ 0 & 2^{n+1} \end{matrix} \right ) \]
④	\[1\]	\[2^{n+1}\]	\[ \left ( \begin{matrix} 1 & 2^n -1 \\ 0 & 2^{n} \end{matrix} \right ) \]
⑤	\[1\]	\[2^{n+1}\]	\[ \left ( \begin{matrix} 1 & 2^n \\ 0 & 2^{n}-1 \end{matrix} \right ) \]

정답 ④