수악중독

함수 \(y=f(x)\) 는 \(f(3)=f(15)\) 를 만족하고, 그 그래프는 그림과 같다. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(f(n)=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 이 있다. \(m\) 이 \(15\) 보다 작은 자연수일 때, \(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{15}

일반항이 \(a_n = \dfrac{n(n+1)}{n} \; (n=1, \;2,\;3,\; \cdots)\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_n\) 의 값이 \(6\) 의 배수인 항들을 작은 것부터 차례로 나열한 수열을 \(\{b_n\}\) 이라 할 때, 다음은 \(\sum \limits_{k=1}^{4n}b_k\) 를 구하는 과정이다. \(a_{n+12}-a_n = (가) \) 이므로 \(a_{n+12}-a_n\) 은 \(6\) 의 배수이다. \(\cdots\cdots\) ㉠ \(a_1,\; a_2,\; a_3, \; \cdots ,\; a_{12}\) 중에서 \(6\) 의 배수인 것은 \(a_3=6,\; a_8=36,\; a_{11}=66,\; a_{12}=78\) 이므로 \(b_1=a_3..

\(n!=n\times(n-1)\times(n-1)\times \cdots \times 2 \times 1\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{100}(n!+n)\) 의 일의 자리 수는? ① \(0\) ② \(3\) ③ \(6\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ②

자연수 \(n\) 에 대하여 \([\sqrt[3]{x}]=n\) 을 만족하는 정수 \(x\) 의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{k=1}^{5} a_k\) 의 값을 구하시오. (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 정답 \(215\)

두 함수 \(f(x)=2^x\) 과 \(g(x)=x-[x]\) 에 대하여 합성함수 \(y=(f\circ g)(x)\) 의 그래프와 직선 \(y=-\dfrac{1}{n}x+2 \;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 의 교점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. 이때, \(\sum \limits_{n=1}^{10} a_n\) 의 값을 구하시오. (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 정답 \(65\)

자연수 \(m\) 과 공차가 양수인 등차수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \[a_k \leq m < a_{k+1}\] 이 성립하는 \(k\) 의 값을 \(b_m\) 이라 하자. \(a_1=1,\; b_7=3\) 일 때, \(b_{20}\) 의 값이 될 수 있는 모든 자연수의 합을 구하시오. 정답 \(34\)

다음과 같은 규칙에 따라 자연수를 차례로 나열한다. (가) \(1\) 행에는 \(1\) 과 \(2\) 를 차례로 나열한다. (나) \(2\) 행에는 \(1\) 행의 수 \(1\) 과 \(2\) 를 차례로 나열한 후 그 사이에 \(3\) 을 나열한다. (다) \(3\) 행에는 \(2\) 행의 수 \(1,\;3,\;2\) 를 차례로 나열한 후 그 사이사이에 왼쪽부터 차례로 \(4\) 와 \(5\) 를 나열한다. (라) \((n+1)\) 행에는 \(n\) 행의 수를 차례로 나열한 후 그 사이사이에 왼쪽부터 차례로 \(n\) 행에 마지막으로 나열된 수보다 \(1\) 큰 수부터 나열한다. 위와 같은 방법으로 수를 나열하면 다음과 같고 \(4\) 행의 \(4\) 번째 수는 \(7\) 이다. 이때, \(11\) 행의..

수열 \(\{a_n\}\) 은 다음과 같이 자연수 중에서 \(3\) 의 배수를 제외한 나머지 자연수를 작은 수부터 순서대로 나열한 것이다. \[\{a_n\}\;:\; 1,\;2,\;4,\;5,\;7,\;8,\;10,\;11,\;13,\;14,\;16, \; \cdots\] 이때, 수열 \(\{b_n\}\) 을 다음과 같이 정의하자.\[{b_n} = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{{{a_n}}}{2}}&{\left( {{a_n} 이\; 짝수일\; 때 } \right)}\\ {{a_n} - 1}&{\left( {{a_n} 이\; 홀수일 \;때 } \right)} \end{array}{\rm{ }}\;\;\;\left( {n = 1,\;2,\;3,\; \cdots } \righ..

다음과 같이 소수점 아래에 \(0\) 과 \(1\) 의 개수를 한 개씩 늘려가면서 교대로 나열하여 만든 실수 \(x\) 가 있다. \[x=0.01001100011100001111\cdots\] 실수 \(x\) 의 소수점 아래 \(n\) 째 자리의 수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{k=1}^{m} a_k a_{k+1} =50\) 을 만족시키는 자연수 \(m\) 의 값을 구하시오. 정답 \(126\)

수열 \(\{a_n\}\) 의 일반항이 \[ a_n = \sqrt{4n^2 +99} \;\; (n=1,\;2,\;3, \; \cdots )\] 일 때, \(m \leq a_n < m+1\) 을 만족시키는 자연수 \(m\) 을 \(b_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(b_2 =10\) 이다. 수열 \(\{b_n \}\) 의 무한 개의 항 \[ b_k , \; b_{k+1} ,\; b_{k+2} ,\; \cdots\] 가 주어진 순서대로 공차가 \(d\) 인 등차수열을 이룰 때, 자연수 \(k\) 의 최솟값을 \(p\) 라 하자. \(d+p\) 의 값을 구하시오. 정답 \(27\)