수학1_여러 가지 수열_멱급수_난이도 중

두 함수 \(f(x)=\log _2 x \) 와 \(g(x)=- \log _2 x\) 의 그래프의 교점을 \(\rm A_1\), 직선 \(x=2\) 가 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y=g(x)\) 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm B_1 ,\; A_2 ,\; C_1\) 이라 하고 삼각형 \(\rm A_1 B_1 C_1\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 직선 \(x=2^2\) 이 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y=g(x)\) 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm B_2 ,\; A_3 ,\; C_2\) 이라 하고 삼각형 \(\rm A_2 B_2 C_2\) 의 넓이를 \(S_2\) 이라 하자. 직선 \(x=2^3\) 가 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y=g(x)\) 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm B_3 ,\; A_4 ,\; C_3\) 이라 하고 삼각형 \(\rm A_3 B_3 C_3\) 의 넓이를 \(S_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻어진 삼각형 \({\rm A}_n {\rm B}_n {\rm C}_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{k=1}^{10} S_k\) 의 값은?
 

① \(9 \cdot 2^{10}+1\)           ② \(9 \cdot 2^{11}+1\)          ③ \(10 \cdot 2^{10}+1\)
④ \(10 \cdot 2^{11}+1\)         ⑤ \(11 \cdot 2^{11}+1\)

정답 ①