수학1_여러 가지 수열_난이도 중

자연수 \(n,\;x,\;y\) 에 대하여 \(\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \;\;(x \le y) \) 과 같이 \(\dfrac{1}{n}\) 을 두 분수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 \(a_n\) 이라 하자.
예를 들어,
    \(1= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \) 이므로 \(a_1\ = 1\),

    \(\dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\) 이므로 \(a_2 =2\),

    \(\dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}\) 이므로 \(a_3 =2\) 이다.

다음은 수열 \(\{a_n\}\) 의 일반항을 구하는 과정이다.

자연수 \(n,\;x,\;y\) 에 대하여 \( \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\;\;(x \le y) \) 라 하면 \(xy=n(x+y)\) 이다. 

따라서 \((x-n )(y-n)=n^2 \cdots \cdots (*)\)

이므로 \(x-n\) 과 \(y-n\) 은 \(n^2\) 의 약수이다.
\(d(n)\) 을 \(n\) 의 양의 약수의 개수라 하고, 방정식 \((*)\) 의 해의 개수를 구하면
i) \(x=y\) 인 경우,
          \(x=y=\;(가)\) 이므로 \(1\) 개이다.
ii) \(x<y\) 인 경우,
          \(x=y=\;(가)\) 이 제외되므로 \(\dfrac{(나)}{2}\) 개이다.
그러므로 \(\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\;\; (x \le y)\) 로 표시할 수 있는 방법의 수는 \((다)\) 개이다.
따라서 구하는 수열의 일반항은 \(a_n =\;(다)\) 이다. 

이 과정에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은?

 

	(가)	(나)	(다)
①	\[n\]	\[d\left(n^2\right)\]	\[\dfrac{d \left (n^2 \right ) +1}{2}\]
②	\[n\]	\[d\left(n^2\right)-1\]	\[\dfrac{d \left (n^2 \right )}{2} +1\]
③	\[2n\]	\[d\left(n^2\right)-1\]	\[\dfrac{d \left (n^2 \right ) +1}{2}\]
④	\[2n\]	\[d\left(n^2\right)-1\]	\[\dfrac{d \left (n^2 \right )}{2} +1\]
⑤	\[2n\]	\[d\left(n^2\right)\]	\[\dfrac{d \left (n^2 \right )}{2} +1\]

 

정답 ③