수학1_여러 가지 수열_난이도 중

자연수 $n,\;x,\;y$ 에 대하여 $\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \;\;(x \le y)$ 과 같이 $\dfrac{1}{n}$ 을 두 분수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 $a_n$ 이라 하자.
예를 들어,
    $1= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}$ 이므로 $a_1\ = 1$,

    $\dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}$ 이므로 $a_2 =2$,

    $\dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}$ 이므로 $a_3 =2$ 이다.

다음은 수열 $\{a_n\}$ 의 일반항을 구하는 과정이다.

자연수 $n,\;x,\;y$ 에 대하여 $\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\;\;(x \le y)$ 라 하면 $xy=n(x+y)$ 이다. 

따라서 $(x-n )(y-n)=n^2 \cdots \cdots (*)$

이므로 $x-n$ 과 $y-n$ 은 $n^2$ 의 약수이다.
$d(n)$ 을 $n$ 의 양의 약수의 개수라 하고, 방정식 $(*)$ 의 해의 개수를 구하면
i) $x=y$ 인 경우,
          $x=y=\;(가)$ 이므로 $1$ 개이다.
ii) $x<y$ 인 경우,
          $x=y=\;(가)$ 이 제외되므로 $\dfrac{(나)}{2}$ 개이다.
그러므로 $\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\;\; (x \le y)$ 로 표시할 수 있는 방법의 수는 $(다)$ 개이다.
따라서 구하는 수열의 일반항은 $a_n =\;(다)$ 이다. 

이 과정에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은?

 

	(가)	(나)	(다)
①	$n$	$d\left(n^2\right)$	$\dfrac{d \left (n^2 \right ) +1}{2}$
②	$n$	$d\left(n^2\right)-1$	$\dfrac{d \left (n^2 \right )}{2} +1$
③	$2n$	$d\left(n^2\right)-1$	$\dfrac{d \left (n^2 \right ) +1}{2}$
④	$2n$	$d\left(n^2\right)-1$	$\dfrac{d \left (n^2 \right )}{2} +1$
⑤	$2n$	$d\left(n^2\right)$	$\dfrac{d \left (n^2 \right )}{2} +1$

 

정답 ③