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목록수학2 (267)
수악중독
그림과 같이 사다리꼴 \(\rm ABCD\) 에서 변 \(\rm AD\) 와 변 \(\rm BC\) 가 평행하고 \(\angle \rm B=2\theta,\; \angle \rm C=3\theta, \; \overline{\rm BC}=2\sin \theta, \; \overline{\rm AD}=\sin \theta\) 이다. 사다리꼴 \(\rm ABCD\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta ^3}=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. \( \left ( 단, \; 0
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(1 \leq f'(x) \leq 3\) 이다. (나) 모든 정수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 점 \((4n, \;8n)\), 점 \((4n+1, \;8n+2)\), 점 \( (4n+2, \;8n+5)\), 점 \( (4n+3, \;8n+7)\) 을 모두 지난다. (다) 모든 정수 \(k\) 에 대하여 닫힌 구간 \([2k, \; 2k+1]\) 에서 함수 \(f(x)\) 의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다. \(\displaystyle \int_{3}^{6} f(x) dx=a\) 라 할 때, \(6a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(167\)
두 함수 \(f(x)=xe^{-x+a}\) 와 \(g(x)=-x+b\) 에 대하여 함수 \(y=|f(x)-g(x)|\) 가 모든 실수 \(x\) 에서 미분가능하도록 상수 \(a, \;b\) 의 값을 정하 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x}=0\) 이다.) 정답 \(6\)
그림과 같이 반지름의 길이가 \(3\) 이고 \(\angle \rm AOB = \dfrac{\pi}{3}\) 인 부채꼴 \(\rm AOB\) 에 내접하는 원을 \(\rm O'\) 이라 하자. 호 \(\rm AB\) 위의 한 점 \(\rm C\) 에 대하여 \(\angle \rm COB=\theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{3} \right )\) 일 때, 원 \(\rm O'\) 과 \(\overline{\rm OC}\) 가 만나는 두 점을 \(\rm P,\;Q\) 라 하고, 부채꼴 \(\rm COB\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to 0} \dfrac{\overline{\rm PQ}^2}{S(\theta..
함수 \(f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x + \cos x -2}\) 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 최솟값은 \(-1-\sqrt{2}\) 이다. ㄴ. \(x=\dfrac{\pi}{4}\) 에서 최댓값을 갖는다. ㄷ. \(x=\dfrac{5}{4}\pi\) 에서 극댓값을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
함수 \(f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\) 의 도함수 \(f'(x)\) 는 \(x=a\) 일 때, 최댓값 \(M\) 을 갖는다. 이때, 상수 \(a\), \(M\) 의 합 \(a+M\) 에 대하여 \(8(a+M)\) 의 값을 구하여라. 정답 \(4\)
그림과 같이 점 \({\rm A}(a, \;0)\) 에서 곡선 \(y=1+\ln x\) 에 그은 접선이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm P\), 접점을 \(\rm Q\) 라 하자. 점 \(\rm Q\) 에서 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm R\), \(\triangle \rm PQR\) 의 넓이를 \(S(a)\) 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(a
아래 그림과 같이 중심이 \({\rm C}(a,\;0)\) 인 원이 곡선 \(y=x^3+1\) 과 점 \({\rm P}(1, \;2)\) 에서 공통인 접선을 가질 때, 양수 \(a\) 의 값은? ① \(4\) ② \(5\) ③ \(6\) ④ \(7\) ⑤ \(8\) 정답 ④
그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 \(\rm A(1,\;0), \; B(3, \;0),\;C(3, \;2),\;D(1,\;2)\) 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 \(\rm ABCD\)가 있다. 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 \(\rm EFGH\) 의 두 대각선의 교점이 원 \(x^2+y^2=1\) 위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 \(x\) 축 또는 \(y\) 축에 수직이다.) ① \(\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\) ② \(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\) ③ \(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\) ④ \(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\) 정답 ④