수악중독

그림과 같이 크기가 \(60^o\) 인 \(\angle \rm AOB\) 의 이등분선 위에 \(\overline{\rm OC_1} =2\) 인 점 \(\rm C_1\) 을 잡아 점 \(\rm C_1\) 을 중심으로 하고 반직선 \(\rm OA\) 와 \(\rm OB\) 에 접하는 원 \(\rm C_1\) 을 그릴 때, 원 \(\rm C_1\) 과 반직선 \(\rm OA,\;OB\) 와의 접점을 각각 \(\rm P_1 ,\; Q_1\) 이라 하자. 점 \(\rm C_1\) 을 지나고 반직선 \(\rm OA\) 와 \(\rm OB\) 에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 \(\rm C_2\), 원 \(\rm C_2\) 와 반직선 \(\rm OA,\;OB\) 와의 접점을 각각 \(\rm P_2 ,\; Q_..

좌표평면에서 점 \((3,\;0)\) 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(3\) 인 원을 \(\rm O_1\) 이라 하고, \(x\) 축을 직선 \(l_1\) 이라 하자. 직선 \(l_1\) 을 원점을 중심으로 \(45^o\) 만큼 회전시킨 직선을 \(l_2\) 라 하고, 직선 \(l_2\) 와 원 \(\rm O_1\) 의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 \(\rm )_2\) 라 할 때, 두 원 \(\rm O_1 ,\; O_2\) 의 공통부분의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 직선 \(l_2\) 를 원점을 중심으로 하여 \(45^o\) 만큼 회전시킨 직선을 \(l_3\) 이라 하고, 직선 \(l_3\) 과 원 \(\rm O_2\) 의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 \(\rm O_3..

반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(\rm O\) 가 있다. 원 \(\rm O\) 의 중심에서 서로 외접하고 원 \(\rm O\) 에 내접하는 두 원 \(A_1 ,\; A'_1\) 을 그린 후 두 원 \(A_1\) 과 \(A'_1\) 에 외접하며 원 \(\rm O\) 에 내접하는 두 원 \(B_1, \; B'_1\) 을 그려서 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 새로 그려진 네 원 \(A_1 , \; A'_1 ,\; B_1 ,\; B'_1\) 의 내부에 그림 \(R_1\) 의 제작과정을 반복하여 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻어진 그림을 \(R_n\) 이라 하자. 또한 그림 \(R_1 ,\;R_2 ,\; \cdots ,\; R_n ,\; \cdot..

어떤 놀이 기구는 길이가 \(10 \rm m\) 인 \(\overline {\rm AB}\) 를 지름으로 하는 반원 모양의 호를 따라 다음 에 의해 움직이도록 만들어졌다. 먼저, [그림 1] 에서와 같이 반원에서 중심 \(\rm O\) 로부터 지면과 수직인 방향에 위치한 \(\rm C\) 지점에서 \(\rm B\) 방향으로 \(10^o\) 만큼 움직여 \(\rm P_1\) 지점에 도달한 후, 방향을 바꾸어 \(\rm A\) 방향으로 \(20^o\) 만큼 움직여 \(\rm P_2\) 지점에 도달한다. 이후에 다시 방향을 바꾸어 \(\rm B\) 방향으로 \(30^o\) 만큼 움직여 \(\rm P_3\) 지점에 도달한다. 이와 같이 움직여 놀이기구가 점 \(\rm B\)에 도달하면 일단 멈춘다. 다음으로 [..

한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 가 있다. 그림과 같이 정사각형 \(\rm ABCD\) 안에 두 점 \(\rm A, \; B\) 를 각각 중심으로 하고 변 \(\rm AB\) 를 반지름으로 하는 \(2\) 개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 이라 하자. 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 안에 두 점 \(\rm A_1 , \; B_1\) 을 각각 중심으로 하고 변 \(\rm A_1 B_1\) 을 반지름으로 하는 \(2\) 개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 \(\rm A_2 B_2 C_2 D_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번..

그림과 같이 원점 \(\rm O\) 와 점 \((2,\;0)\) 을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_1\) 이라 하자. 또, 원 \(\rm C_1\) 과 직선 \(y=x\) 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_2\), 원 \(\rm C_2\) 와 \(y\) 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_3\) 이라 하자. 또, 원 \(\rm C_3\) 과 직선 \(y=-x\) 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_4\), 원 \(\rm C_4\) 와 \(x\) 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_5\) 라 하자. 이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 \(y=x\), \(y\) 축, 직선 \(y=..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(4\) 인 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 이 있다. 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 의 내부에 선분 \(\rm B_1 C_1\) 을 한 변으로 하는 정삼각형 \(\rm P_1 B_1 C_1\) 을 만든다. 다시 선분 \(\rm B_1 C_1\) 위에 정삼각형 \(\rm P_1 B_1 C_1\) 에 내접하는 정사각형 \(\rm A_2 B_2 C_2 D_2\) 를 만든다. 이와 같은 방법으로 만들어지는 정사각형 \(\rm A_{\it n} B_{\it n} C_{\it n} D_{\it n}\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은? ① \(4\sqrt{3}+1..

이차방정식 \(9x^2 -6x-1=0\) 의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 할 때, \[\dfrac{1}{\beta - \alpha} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( \beta ^n - \alpha ^n \right ) = \dfrac{q}{p}\] 이다. 이때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 11

원에 다음 과정을 실행한다. \(\rm I\). 원의 지름을 \(1:2\) 로 내분하는 점을 잡는다. \(\rm II\). 이 원에 내접하면서 \(\rm I\) 의 내분점에서 서로 외접하는 두 개의 원을 그린다. 지름의 길이가 \(6\) 인 원이 있다. 이 원에 위의 과정을 실행하여 그린 \(2\) 개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 \(C_1\) 이라 하자. 그림 \(C_1\) 에서 새로 그려진 \(2\) 개의 원에 각각 위의 과정을 실행하여 그린 \(4\) 개의 원의 내부를 제외하여 얻어진 그림을 \(C_2\) 라 하자. 그림 \(C_2\) 에서 새로 그려진 \(4\) 개의 원에 각각 위의 과정을 실행하여 그린 \(8\) 개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 \(C_3\) 이라 하자. 그림 ..

그림과 같이 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm A_1 B\) 를 지름으로 하는 반원 \(\rm D_1\) 이 있다. 호 \(\rm A_1 B\) 를 이등분하는 점을 \(\rm C_1\), 점 \(\rm B\) 를 지나면서 선분 \(\rm A_1 C_1\) 과 접하고 중심이 선분 \(\rm A_1 B\) 위에 있는 반원을 \(\rm D_2\), 반원 \(\rm D_2\) 가 선분 \(\rm A_1 B\) 와 만나는 점을 \(\rm A_2\) 라 하자. 호 \(\rm A_2 B\) 를 이등분하는 점을 \(\rm C_2\), 점 \(\rm B\) 를 지나면서 선분 \(\rm A_2 C_2\) 와 접하고 중심이 선분 \(\rm A_1 B\) 위에 있는 반원을 \(\rm D_3\), 반원 \(\rm D_3\)..