수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

 

그림과 같이 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm A_1 B\) 를 지름으로 하는 반원 \(\rm D_1\) 이 있다. 호 \(\rm A_1 B\) 를 이등분하는 점을 \(\rm C_1\), 점 \(\rm B\) 를 지나면서 선분 \(\rm A_1 C_1\) 과 접하고 중심이 선분 \(\rm A_1 B\) 위에 있는 반원을 \(\rm D_2\), 반원 \(\rm D_2\) 가 선분 \(\rm A_1 B\) 와 만나는 점을 \(\rm A_2\) 라 하자. 호 \(\rm A_2 B\) 를 이등분하는 점을 \(\rm C_2\), 점 \(\rm B\) 를 지나면서 선분 \(\rm A_2 C_2\) 와 접하고 중심이 선분 \(\rm A_1 B\) 위에 있는 반원을 \(\rm D_3\), 반원 \(\rm D_3\) 이 선분 \(\rm A_1 B\) 와 만나는 점을 \(\rm A_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 반원 \(\rm D_{\it n}\) 의 호의 길이를 \(l_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} l_n\) 의 값은?

① \(2\left ( 1+\sqrt{2} \right ) \pi\)            ② \(2\left ( 2+\sqrt{2} \right )\pi \)          ③ \(2\left ( 3+\sqrt{2} \right ) \pi\)          
④ \(2\left ( 2+2\sqrt{2} \right ) \pi\)          ⑤ \(2\left ( 3+2\sqrt{2} \right )\pi \)          

정답 ⑤