수악중독

그림과 같이 원점 \(\rm O\) 에서 두 점 \({\rm A} \left ( \sqrt{3},\;0 \right ),\;\; {\rm B} (0,\;1)\) 을 이은 선분 \(\rm AB\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm P_1\) 이라 하자. 점 \(\rm P_1\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(Q_1\), 점 \(Q_1\) 을 지나고 선분 \(\rm AB\) 와 평행한 직선의 \(y\) 절편을 \(\rm R_1\), 점 \(\rm R_1\) 에서 선분 \(\rm AB\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm P_2\) 라 하자. 점 \(\rm P_2\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm Q_2\) , 점 \(\rm Q_2\) 를 지나고 선분 \(\rm AB\) 와 평행한..

자연수 \(n\) 에 대하여 좌표평면 위의 세 점 \({\rm A}_n (x_n ,\;0),\;\;{\rm B}_n (0,\; x_n ),\;\;{\rm C}_n (x_n ,\; x_n )\) 을 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형 \(T_n\) 을 다음 조건에 따라 그린다. (가) \(x_1 =1\) 이다. (나) 변 \({\rm A}_{n+1} {\rm B}_{n+1}\) 의 중점이 \({\rm C}_n\) 이다. \((n=1,\;2,\;3,\;\cdots )\) 삼각형 \(T_n\) 의 넓이를 \(a_n\), 삼각형 \(T_n\) 의 세 변 위에 있는 점 중에서 \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 \(b_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty..

연립부등식 \(\left\{ {\begin{array}{ll}{\left| x \right| + 2\left| y \right| \le 4}\\{{2^n}\left( {y - x} \right) + y \ge 1}\end{array}} \right.\) 의 해 \((x,\;y)\) 가 나타내는 영역의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} S_n\) 의 값은? (단, \(n\) 은 자연수이다.) ① \(8\) ② \(10\) ③ \(12\) ④ \(14\) ⑤ \(16\) 정답 ①

그림과 같이 자연수 \(n\) 에 대하여 가로의 길이가 \(n\), 세로의 길이가 \(48\) 인 직사각형 \(\rm OAB_{\it n} C_{\it n}\) 이 있다. 대각선 \(\rm AC_{\it n}\) 과 선분 \(\rm B_1 C_1\) 의 교점을 \(\rm D_{\it n}\) 이라 한다. 이때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{\overline {\rm AC_{\it n}}- \overline {\rm OC_{\it n}}}{\overline {\rm B_1 D_{\it n}}}\) 의 값을 구하시오. 정답 24

수렴하는 두 무한수열 \(\{a_n\},\;\;\{b_n\}\) 에 대하여 \[\left ( \matrix {a_{n+1} \\ b_{n+1}} \right ) = \left ( \matrix { 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 } \right ) \left ( \matrix { a_n \\ b_n } \right ) \;\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 으로 정의할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{b_n}{a_n}\) 의 값은? (단, \( a_1 =4,\;\;b_1 =6\)) ① \(\dfrac{1}{3}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(2\) 정답 ②

이차함수 \(f(x)=2x^2 -2nx + \dfrac{1}{2} n^2 + 6n +1 \;\;(n=1,\;2,\;3, \cdots\) 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 \({\rm P} (x_n ,\; y_n ) \) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{y_n}{x_n}\) 의 값을 구하시오. 정답 12

\(n\) 이 자연수일 때, 점 \({\rm A}_n \left ( n,\; \sqrt{3}n \right )\) 과 원 \(x^2 +y^2 = 4n^2 -3n\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm PA_{\it n}\) 의 길이의 최솟값을 \(a_n\) 이라 하자. 이때, \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n \) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{3}\) ② \(\dfrac{3}{4}\) ③ \(\dfrac{4}{5}\) ④ \(\dfrac{5}{4}\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\) 정답 ②

자연수 \(m\) 에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 \(1\) 열에 \(1\) 개, \(2\) 열에 \(2\) 개, \(3\) 열에 \(3\) 개, \(\cdots\) , \(m\) 열에 \(m\) 개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다. 블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의 \(\dfrac{1}{2}\) 만큼의 블록을 그 열에서 들어낸다. 블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, \(1\) 열부터 \(m\) 열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 \(f(m)\) 이라 하자. 예를 들어, \(f(2)=2,\;\;f(3)=5,\;\;f(4)=6\) 이다. \[\lim \limits _{n \to \infty} \frac..

자연수 \(n\) 에 대하여 행렬 \(\left (\matrix { 2^n & 3^n \\ 3^n & 2^n} \right ) \) 의 역행렬의 모든 성분의 합을 \(a_n\) 이라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \( \lim \limits _{n \to \infty} a_n =0 \) ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty } {\displaystyle \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} = {\displaystyle \frac{2}{3}}\) ㄷ. \({\displaystyle \frac{1}{3^n}} < a_n < {\displaystyle \frac{1}{2^n}}\) \( n=1,\;2,\; 3,\; \cdots)\) ① ㄱ ② ㄴ..

두 무한수열 \(\{a_n \},\;\{b_n \}\)에 대한 의 설명 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 두 수열 \(\{a_n \},\;\{b_n \}\)이 발산하면 수열 \(\{a_n b_n \}\)도 발산한다. ㄴ. \(\left| {{a_n}} \right| < \left| {{b_n}} \right|\)이고 \(\lim \limits_{n \to \infty } {b_n} = 0\) 이면 \(\lim \limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\)이다. ㄷ. 무한급수 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right)} \)이 수렴하면 \(\{a_n \}\)도 수렴한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ..