수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 가 있다. 그림과 같이 정사각형 \(\rm ABCD\) 안에 두 점 \(\rm A, \; B\) 를 각각 중심으로 하고 변 \(\rm AB\) 를 반지름으로 하는 \(2\) 개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 이라 하자. 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 안에 두 점 \(\rm A_1 , \; B_1\) 을 각각 중심으로 하고 변 \(\rm A_1 B_1\) 을 반지름으로 하는 \(2\) 개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 \(\rm A_2 B_2 C_2 D_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 정사각형 \(\rm A_{\it n} B_{\it n} C_{\it n} D_{\it n}\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

 

① \(\dfrac{3}{8}\)          ② \(\dfrac{9}{16}\)          ③ \(\dfrac{4}{5}\)          ④ \(\dfrac{9}{8}\)          ⑤ \(\dfrac{23}{16}\)

정답 ②