수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(\rm O\) 가 있다. 원 \(\rm O\) 의 중심에서 서로 외접하고 원 \(\rm O\) 에 내접하는 두 원 \(A_1 ,\; A'_1\) 을 그린 후  두 원 \(A_1\) 과 \(A'_1\) 에 외접하며 원 \(\rm O\) 에 내접하는 두 원 \(B_1, \; B'_1\) 을 그려서 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 새로 그려진 네 원 \(A_1 , \; A'_1 ,\; B_1 ,\; B'_1\) 의 내부에 그림 \(R_1\) 의 제작과정을 반복하여 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻어진 그림을 \(R_n\) 이라 하자. 또한 그림 \(R_1 ,\;R_2 ,\; \cdots ,\; R_n ,\; \cdots\) 각각에 아래와 같이 어둡게 색칠을 하자. 그림 \(R_n\) 의 어두운 부분의 넓이의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

 

① \(\pi\)           ② \(\dfrac{9}{5} \pi\)           ③ \(\dfrac{13}{5} \pi\)          ④ \(\dfrac{17}{5} \pi\)           ⑤ \(\dfrac{21}{5} \pi\)

정답 ③