수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 크기가 \(60^o\) 인 \(\angle \rm AOB\) 의 이등분선 위에 \(\overline{\rm OC_1} =2\) 인 점 \(\rm C_1\) 을 잡아 점 \(\rm C_1\) 을 중심으로 하고 반직선 \(\rm OA\) 와 \(\rm OB\) 에 접하는 원 \(\rm C_1\) 을 그릴 때, 원 \(\rm C_1\) 과 반직선 \(\rm OA,\;OB\) 와의 접점을 각각 \(\rm P_1 ,\; Q_1\) 이라 하자. 점 \(\rm C_1\) 을 지나고 반직선 \(\rm OA\) 와 \(\rm OB\) 에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 \(\rm C_2\),  원 \(\rm C_2\) 와 반직선 \(\rm OA,\;OB\) 와의 접점을 각각 \(\rm P_2 ,\; Q_2\) 라 하고, 원 \(\rm C_1\) 과 원 \(\rm C_2\) 가 만나는 점을 각각 \(\rm A_1 ,\; B_1\) 이라 할 때, 사각형 \(\rm A_1 C_1 B_1 C_2\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 점 \(\rm C_2\) 를 지나고 반직선 \(\rm OA\) 와 \(\rm OB\) 에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 \(\rm C_3\), 원 \(\rm C_3\) 과 반직선 \(\rm OA,\;OB\) 와의 접점을 각각 \(\rm P_3 ,\; Q_3\) 이라 하고, 원 \(\rm C_2\) 와 원 \(\rm C_3\) 이 만나는 점을 각각 \(\rm A_2 ,\; B_2\) 라 할 때, 사각형 \(\rm A_2 C_2 B_2 C_3\) 의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 도형의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{4^n +3^n}\) 의 값은?

 

① \(\dfrac{1}{4}\)          ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)          ③ \(\dfrac{3}{8}\)          ④ \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)           ⑤ \(\dfrac{\sqrt{15}}{8}\)

정답 ⑤