수학1_수열의 극한_도형와 무한등비급수_난이도 상

 

그림과 같이 한 변의 길이가 \(4\) 인 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 이 있다. 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 의 내부에 선분 \(\rm B_1 C_1\) 을 한 변으로 하는 정삼각형 \(\rm P_1 B_1 C_1\) 을 만든다. 다시 선분 \(\rm B_1 C_1\) 위에 정삼각형 \(\rm P_1 B_1 C_1\) 에 내접하는 정사각형
\(\rm A_2 B_2 C_2 D_2\) 를 만든다. 이와 같은 방법으로 만들어지는 정사각형 \(\rm A_{\it n} B_{\it n} C_{\it n} D_{\it n}\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

① \(4\sqrt{3}+15\)          ② \(5\sqrt{3}+10\)
③ \(5\sqrt{3}+25\)          ④ \(6\sqrt{3}+5\) 
⑤ \(6\sqrt{3}+10\)

정답 ⑤