수악중독

그림과 같이 한 변의 길이가 \(1\) 인 정팔각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1 G_1 H_1\) 의 내부에 정사각형 \(\rm A_1 C_1 E_1 G_1\) 과 \(\rm B_1 D_1 F_1 H_1\) 을 그리고 두 정사각형 \(\rm A_1 C_1 E_1 G_1\) 과 \(\rm B_1 D_1 F_1 H_1\) 의 변으로 둘러싸인 삼각형에 색칠하여 얻은 \(8\) 개의 삼각형을 \( T_1\) 이라 하고, 그 \(8\) 개의 삼각형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 또 두 정사각형 \(\rm A_1 C_1 E_1 G_1\) 과 \(\rm B_1 D_1 F_1 H_1\) 의 변의 교점을 \(\rm A_2 , \; B_2 ,\; C_2 , \; D_2 , \; E_2 ,\;..

그림과 같이 모선 \(\rm OA_1\) 의 길이가 \(8\), 밑면의 지름 \(\rm A_0 A_1\) 의 길이가 \(4\) 인 원뿔이 있다. 점 \(\rm A_1\) 을 출발하여 원뿔을 한 바퀴 돌아 다시 점 \(\rm A_1\) 으로 돌아오는 최단 경로의 길이를 \(l_1\) 이라 하고, 이 최단 경로와 모선 \(\rm OA_0\) 가 만나는 점을 \(\rm A_2\) 라 하자. 또, 점 \(\rm A_2\) 를 출발하여 원뿔을 한 바퀴 돌아 다시 점 \(\rm A_2\) 로 돌아오는 최단 경로의 길이를 \(l_2\) 라 하고, 이 최단 경로와 모선 \(\rm OA_1\) 이 만나는 점을 \(\rm A_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 최단 경로의 길이를 \(l_n..

좌표평면 위에 점 \(\rm P_1 (2,\;0)\) 이 있다. 삼각형 \(\rm OP_1 Q_1\) 이 정삼각형이 되도록 제\(1\)사분면 위의 점 \(\rm Q_1\) 을 잡는다. 선분 \(\rm OQ_1\) 의 중점을 \(\rm P_2\) 라 하고, 삼각형 \(\rm OP_2 Q_2\) 가 정삼각형이 되도록 정삼각형 \(\rm OP_1 Q_1\) 의 외부에 점 \(\rm Q_2\) 를 잡는다. 선분 \(\rm OQ_2\) 의 중점을 \(\rm P_3\) 이라 하고, 삼각형 \(\rm OP_3 Q_3\) 이 정삼각형이 되도록 정삼각형 \(\rm OP_2 Q_2\) 의 외부에 점 \(\rm Q_3\) 를 잡는다. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 점 \(\rm Q_{\it n}\) 의 좌..

자연수 \(n\) 에 대하여 직선 \(y=n\) 과 함수 \(y= \tan x\) 의 그래프가 제 \(1\) 사분면에서 만나는 점의 \(x\) 좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, \(n\) 번째 수를 \(a_n\) 이라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n}\) 의 값은? ① \(\dfrac{\pi}{4}\) ② \(\dfrac{\pi}{2}\) ③ \(\dfrac{3}{4} \pi \) ④ \(\pi\) ⑤ \(\dfrac{5}{4} \pi \) 정답 ④

직사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 에서 \(\overline{\rm A_1 B_1} =1,\; \overline{\rm A_1 D_1}=2\) 이다. 그림과 같이 선분 \(\rm A_1 D_1\) 과 선분 \(\rm B_1 C_1\) 의 중점을 각각 \(M_1, \; N_1\) 이라 하자. 중심이 \(\rm N_1\), 반지름의 길이가 \(\overline{\rm B_1 N_1}\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm N_1 M_1 B_1\) 을 그리고, 중심이 \(\rm D_1\), 반지름의 길이가 \(\overline{\rm C_1 D_1}\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm D_1 M_1 C_1\..

한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형과 한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. [그림 1]과 같이 정사각형 둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 \(\rm ABC\) 를 회전시킨다. 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형 둘레를 \(n\) 바퀴 도는 동안, 변 \(\rm BC\) 가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수를 \(a_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(n=1\) 일 때, [그림 2]와 같이 변 \(\rm BC\) 가 \(2\) 회 놓이므로 \(a_1 =2\) 이다. 이때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{3n-2}}{n}\) 의 값은? ① \(8\) ② \(10\) ③ \(12\) ④ \(14\) ..

실수 \(a\) 에 대하여 함수 \(f(a)\) 를 \[ f(a)=\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{a^{n+1} +a^{-n} -1}{a^n +a^{-n+1} +1} \] 로 정의할 때, \(f \left ( f \left ( -\dfrac{1}{2} \right ) \right ) \) 의 값은? (단, \(a \ne 0\) ) ① \(-2\) ② \(-\dfrac{1}{2}\) ③ \(0\) ④ \(\dfrac{1}{2}\) ⑤ \(2\) 정답 ①

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고 지름 \(\rm AB\) 의 길이가\(4\) 인 원이 있다. 두 선분 \(\rm AO, \; BO\) 를 각각 지름으로 하는 두 원을 그린 후, 이 두 원에 외접하며 원 \(\rm O\) 에 내접하는 두 원을 그린다. 이렇게 그린 네 원의 내분에 색을 칠하여 얻은 그림을 \(T_1\) 이라 하자. 그림 \(T_1\) 에서 원 \(\rm O\) 의 지름 \(\rm AB\) 와 만나는 두 원의 내부에 각각 위와 같은 방법으로 네 개의 원을 그리고 새로 그려진 모든 원의 내부의 색을 지워 얻은 그림을 \(T_2\) 라 하자.그림 \(T_2\) 에서 원 \(\rm O\) 의 지름 \(\rm AB\) 와 만나는 네 원의 내부에 각각 위와 같은 방법으로 네 개의 원을 그리..

좌표평면에 원 \(C_1 : x^2 +y^2 =9\) 가 있다. 그림과 같이 \(x\) 축 위의 점 \({\rm A}(5,\;0)\) 에서 원 \(C_1\) 에 두 개의 접선 \(l_1 , \; l_2\) 를 그었을 때 생기는 접점을 각각 \(\rm P_1 , \; Q_1\) 이라 하고, 원 \(C_1\) 과 \(x\) 축의 교점 중 \(x\) 좌표가 음수인 점을 \(\rm R_1\) 이라 하자. 중심이 \(x\) 축 위에 있고 중심의 \(x\) 좌표가 양수이면서 원 \(C_1\) 과 외접하고 두 직선 \(l_1 ,\; l_2\) 에 접하는 원을 \(C_2\) 라 하자. 원 \(C_2\) 와 원 \(C_1\) 의 접점을 \(\rm R_2\), 두 직선 \(l_1 ,\; l_2\) 와의 교점을 각각 \(\..

그림과 같이 넓이가 \(M\)인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 자연수 \(n\) 과 선분 \(\rm AC\) 위의 두 점 \( \rm D,\;E\) 에 대하여 \(\overline{\rm AD} : \overline{\rm DE} : \overline{\rm EC} = n:(2n+1):(3n+2)\) 이고 \(\overline{\rm DE} // \overline{\rm AB},\;\; \overline{\rm GE} // \overline{\rm BC}\) 이다. 선분 \(\rm DF\) 와 선분 \(\rm GE\) 의 교점을 지나는 선분 \(\rm HI\) 는 선분 \(\rm AC\) 와 평행하다. 어두운 부분의 넓이의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to..