수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 원점 \(\rm O\) 와 점 \((2,\;0)\) 을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_1\) 이라 하자. 또, 원 \(\rm C_1\) 과 직선 \(y=x\) 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_2\), 원 \(\rm C_2\) 와 \(y\) 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_3\) 이라 하자. 또, 원 \(\rm C_3\) 과 직선 \(y=-x\) 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_4\), 원 \(\rm C_4\) 와 \(x\) 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_5\) 라 하자.

 

 이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 \(y=x\), \(y\) 축, 직선 \(y=-x\), \(x\) 축, \(\cdots\) 위에 있는 원 \(\rm C_6 , \; C_7 , \; C_8 ,\; C_9 , \; \cdots\) 를 한없이 만들어 갈 때, 원 \(\rm C_{\it n}\) 의 내부와 원 \({\rm C}_{n+1}\) 의 외부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 \(S_n \;\; (n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 이라 하자. 이때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

① \(\pi +1\)          ② \(\dfrac{3}{2} \pi\)          ③ \(\dfrac{5}{4} ( \pi +1)\)          ④ \(\dfrac{3}{2}\pi\)          ⑤ \(2\pi\)

정답 ①