수악중독

수직선 위에 두 점 \({\rm A}_1 (a) , \;\; {\rm A}_2 (b) \) 에 대하여 \(\overline {\rm A_1 A_2}\) 를 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_3\), \(\overline {\rm A_2 A_3} \) 을 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_4 , \cdots\) 와 같이 무한히 점을 잡아나갈 때, 점 \({\rm A}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(x_n\) 이라 하자. 이 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} x_n \) 의 값은? ① \(\dfrac{a+b}{2}\) ② \(\dfrac{a+2b}{3}\) ③ \(\dfrac{a+3b}{4}\) ④ \(\dfrac{a+4b}{5}\) ⑤ \(\dfrac{..

연립방정식 \(\left\{ {\begin{array}{ll}{\left| x \right| + 2\left| y \right| \le 4}\\{{2^n}\left( {y - x} \right) + y \ge 1}\end{array}} \right. \) 의 해 \((x,\;y) \) 가 나타내는 영역의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} S_n \) 의 값은? (단, \(n\) 은 자연수이다.) ① \(8\) ② \(10\) ③ \(12\) ④ \(14\) ⑤ \(16\) 정답 8

그림과 같이 원점 \(\rm O\) 와 점 \(2,\; 0)\) 을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_1\) 이라 하자. 또, 원 \(\rm C_1\) 과 직선 \(y=x\) 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_2\), 원 \(\rm C_2\) 와 \(y\) 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_3\) 이라 하자. 또 원, \(\rm C_3\) 과 직선 \(y=-x\) 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_4\), 원 \(\rm C_4\) 와 \(x\) 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_5\) 라 하자. 이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 \(y=x\) , \(y\) 축, 직선 \(y..

그림과 같이 반지름의 길이가 \(a\) 인 반원 \(\rm C_1\) 에 내접하는 정사각형을 \(A_1\) 이라 하자. \(A_1\) 의 한 변의 길이를 반지름으로 하는 반원 \(\rm C_2\) 에 내접하는 정사각형을 \(A_2\) 라 하자. \(A_2\) 의 한 변의 길이를 반지름으로 하는 반원 \(\rm C_3\) 에 내접하는 정사각형을 \(A_3\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 정사각형을 만들어 나갈 때, 이들 정사각형의 넓이의 합은? ① \(a^2\) ② \(2a^2\) ③ \(3a^2\) ④ \(4a^2\) ⑤ \(5a^2\) 정답 ④

수직선 위의 두 점 \(\rm A_1 (0) ,\; A_2 (90)\) 에 대하여 \(\overline {\rm A_1 A_2}\) 를 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_3\), \(\overline{\rm A_2 A_3}\) 를 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_4 , \; \cdots , \; \overline{{\rm A}_{\it n} {\rm A}_{{\it n}+1}}\) 을 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \({\rm A}_{n+2}\) 라 하자. 점 \({\rm A}_n\) 의 좌표를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 72

그림과 같이 곡선 \(y=x^2\) 위의 점 \({\rm P}_n \left ( n,\; n^2 \right )\) ( \(n\) 은 자연수) 에서의 접선이 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \({\rm Q}_n ,\; {\rm R}_n \) 이라 하고, 원점 \(\rm O\) 에 대하여 삼각형 \({\rm OQ}_n {\rm R}_n \) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. 이 때, \(\lim \limits_{n\to \infty} {\dfrac{S_n}{n^3}}\) 의 값은? ① \( \dfrac{1}{4}\) ② \( \dfrac{1}{5}\) ③ \( \dfrac{1}{6}\) ④ \( \dfrac{1}{7}\) ⑤ \( \dfrac{1}{8}\) 정답 ①

오른쪽 그림과 같이 주어진 함수 \(f(x)\) 에 대하여 수열 \(\{x_n\}\) 이 \(x_1 >0,\;\; x_{n+1} = f(x_n)\) 으로 정의되어 있다. 이 때, \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \left\{{\begin{array}{ll}{\;(가)\;\;\; \left( {0 < {x_1} < 1} \right)}\\{\; (나)\;\;\; \left( {1 < {x_1} < 2} \right)}\\{\; (다)\;\;\; \left( {2 < {x_1} < 3} \right)}\end{array}} \right.\] 라고 한다. 이 때, (가), (나), (다)에 알맞은 수를 모두 합한 값을 구하시오. 정답 4

자연수 \(n\) 에 대하여 원점 \(\rm O\) 와 점 \((n, \; 0)\) 을 이은 선분을 밑변으로 하고, 높이가 \(h_n\) 인 삼각형의 넓이를 \(a_n\) 이라 하자. 수열 \(\{ a_n\}\) 은 첫째항이 \(\dfrac{1}{2}\) 인 등비수열일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n = {\dfrac{1}{2}} \) 이면 \(h_n = {\dfrac{1}{n}}\) 이다. ㄴ. \(h_2 = {\dfrac{1}{4}}\) 이면 \(a_n = \left ({\dfrac{1}{2}} \right ) ^n \) 이다. ㄷ. \(h_2 < {\dfrac{1}{2}} \) 이면 \(\lim \limits _{n\to \infty} n h..

자연수 \(n\) 에 대하여 집합 \(\{ k \; \vert \; 1\le k \le 2n ,\;\;k 는\;자연수\}\) 의 세 원소 \(a,\;b,\;c\;\;(a

\(n\) 이 양의 정수일 때, \(6^n\) 의 양의 약수의 총합은 \(T(n)\) 이다. 이 때, \(\lim \limits _{n\to \infty} {\dfrac{6^n}{T(n)}}\) 의 값을 구하면? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{6}\) ④ \(\dfrac{1}{12}\) ⑤ \(\dfrac{1}{18}\) 정답 ②