수악중독

수직선 위에 두 점 ${\rm A}_1 (a) , \;\; {\rm A}_2 (b)$ 에 대하여 $\overline {\rm A_1 A_2}$ 를 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm A_3$, $\overline {\rm A_2 A_3}$ 을 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm A_4 , \cdots$ 와 같이 무한히 점을 잡아나갈 때, 점 ${\rm A}_n$ 의 $x$ 좌표를 $x_n$ 이라 하자. 이 때, $\lim \limits _{n \to \infty} x_n$ 의 값은? ① $\dfrac{a+b}{2}$ ② $\dfrac{a+2b}{3}$ ③ $\dfrac{a+3b}{4}$ ④ $\dfrac{a+4b}{5}$ ⑤ \(\dfrac{..

연립방정식 $\left\{ {\begin{array}{ll}{\left| x \right| + 2\left| y \right| \le 4}\\{{2^n}\left( {y - x} \right) + y \ge 1}\end{array}} \right.$ 의 해 $(x,\;y)$ 가 나타내는 영역의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits _{n \to \infty} S_n$ 의 값은? (단, $n$ 은 자연수이다.) ① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$ 정답 8

그림과 같이 원점 $\rm O$ 와 점 $2,\; 0)$ 을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_1$ 이라 하자. 또, 원 $\rm C_1$ 과 직선 $y=x$ 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_2$, 원 $\rm C_2$ 와 $y$ 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_3$ 이라 하자. 또 원, $\rm C_3$ 과 직선 $y=-x$ 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_4$, 원 $\rm C_4$ 와 $x$ 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_5$ 라 하자. 이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 $y=x$ , $y$ 축, 직선 \(y..

그림과 같이 반지름의 길이가 $a$ 인 반원 $\rm C_1$ 에 내접하는 정사각형을 $A_1$ 이라 하자. $A_1$ 의 한 변의 길이를 반지름으로 하는 반원 $\rm C_2$ 에 내접하는 정사각형을 $A_2$ 라 하자. $A_2$ 의 한 변의 길이를 반지름으로 하는 반원 $\rm C_3$ 에 내접하는 정사각형을 $A_3$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 정사각형을 만들어 나갈 때, 이들 정사각형의 넓이의 합은? ① $a^2$ ② $2a^2$ ③ $3a^2$ ④ $4a^2$ ⑤ $5a^2$ 정답 ④

수직선 위의 두 점 $\rm A_1 (0) ,\; A_2 (90)$ 에 대하여 $\overline {\rm A_1 A_2}$ 를 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm A_3$, $\overline{\rm A_2 A_3}$ 를 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm A_4 , \; \cdots , \; \overline{{\rm A}_{\it n} {\rm A}_{{\it n}+1}}$ 을 $3:1$ 로 내분하는 점을 ${\rm A}_{n+2}$ 라 하자. 점 ${\rm A}_n$ 의 좌표를 $a_n$ 이라 할 때, $\lim \limits _{n \to \infty} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 72

그림과 같이 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm P}_n \left ( n,\; n^2 \right )$ ( $n$ 은 자연수) 에서의 접선이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 ${\rm Q}_n ,\; {\rm R}_n$ 이라 하고, 원점 $\rm O$ 에 대하여 삼각형 ${\rm OQ}_n {\rm R}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. 이 때, $\lim \limits_{n\to \infty} {\dfrac{S_n}{n^3}}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{1}{6}$ ④ $\dfrac{1}{7}$ ⑤ $\dfrac{1}{8}$ 정답 ①

오른쪽 그림과 같이 주어진 함수 $f(x)$ 에 대하여 수열 $\{x_n\}$ 이 $x_1 >0,\;\; x_{n+1} = f(x_n)$ 으로 정의되어 있다. 이 때, $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \left\{{\begin{array}{ll}{\;(가)\;\;\; \left( {0 < {x_1} < 1} \right)}\\{\; (나)\;\;\; \left( {1 < {x_1} < 2} \right)}\\{\; (다)\;\;\; \left( {2 < {x_1} < 3} \right)}\end{array}} \right.$ 라고 한다. 이 때, (가), (나), (다)에 알맞은 수를 모두 합한 값을 구하시오. 정답 4

자연수 $n$ 에 대하여 원점 $\rm O$ 와 점 $(n, \; 0)$ 을 이은 선분을 밑변으로 하고, 높이가 $h_n$ 인 삼각형의 넓이를 $a_n$ 이라 하자. 수열 $\{ a_n\}$ 은 첫째항이 $\dfrac{1}{2}$ 인 등비수열일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n = {\dfrac{1}{2}}$ 이면 $h_n = {\dfrac{1}{n}}$ 이다. ㄴ. $h_2 = {\dfrac{1}{4}}$ 이면 $a_n = \left ({\dfrac{1}{2}} \right ) ^n$ 이다. ㄷ. $h_2 < {\dfrac{1}{2}}$ 이면 \(\lim \limits _{n\to \infty} n h..

자연수 $n$ 에 대하여 집합 $\{ k \; \vert \; 1\le k \le 2n ,\;\;k 는\;자연수\}$ 의 세 원소 \(a,\;b,\;c\;\;(a

$n$ 이 양의 정수일 때, $6^n$ 의 양의 약수의 총합은 $T(n)$ 이다. 이 때, $\lim \limits _{n\to \infty} {\dfrac{6^n}{T(n)}}$ 의 값을 구하면? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{6}$ ④ $\dfrac{1}{12}$ ⑤ $\dfrac{1}{18}$ 정답 ②