수악중독

다음과 같이 두 개의 무한등비수열이 있다. \(x + a,\;\;{\left( {x + a} \right)^2},\;\;{\left( {x + a} \right)^3},\;\; \cdots ,\;\;{\left( {x + a} \right)^{n - 1}},\;\; \cdots \) \(ax + 1,\;\;{\left( {ax + 1} \right)^2},\;\;{\left( {ax + 1} \right)^3},\;\; \cdots ,\;\;{\left( {ax + 1} \right)^{n - 1}},\;\; \cdots \) \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {x + a} \right)}^n}} \) 과 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\le..

\(0\) 또는 \(2\) 로만 된 수열 \(\left \{ a_n \right \}\) 에서 무한급수 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{a_n}{3^n}}\) 의 값이 \(\dfrac{3}{4}\) 일 때, \(\sum\limits_{n = 1}^{2007} {a_n}\) 의 값은? ① \(2000\) ② \(2002\) ③ \(2004\) ④ \(2006\) ⑤ \(2008\) 정답 ⑤

\(a,\;b\) 가 양수일 때, 이차방정식 \(x^2 -2ax-b=0\) 과 수열 \(\left \{ x_n \right \}\) 이 다음을 만족한다. (가) 이차방정식 \(x^2 -2ax-b=0\) 은 서로 다른 두 실근 \( \alpha,\;\beta\) 를 갖는다. (단, \(\alpha

수열 \(\left \{ a_n \right \} \) 은 다음 두 조건을 만족시킨다. (단, \(a_n \ne 2\) ) (가) \(4a_{n+1} -3a_n 2\) 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_{n+1} -2 \left ( {\dfrac{1}{2}} \right ) ^n \left ( a_1 -2 \right ) \) ㄷ. \(\lim \limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

아래 그림과 같이 원 \({\rm O_1} \;:\;(x-4)^2 +(y-3)^2 =1\) 이 있다. 원점과 원 \(\rm O_1\) 의 중심을 지나는 직선 위에 중심이 오도록 하면서 반지름의 길이가 원 \(\rm O_1\) 의 반인 원 \(\rm O_2\) 를 원 \(\rm O_1\) 에 외접하도록 그린다. 이와 같은 방법으로 계속해서 원 \(\rm O_3 , \; O_4, \; \cdots , \; O_{\it n} ,\; \cdots\) 을 그려 나간다. 각 원의 중심의 좌표를 \( \left ( x_1 , y_1 \right ) ,\; \left (x_2, \; y_2 \right ) , \; \left ( x_3 ,\; y_3 \right ),\;\cdots ,\; \left ( {\it x_n..

두 수열 \( \left \{ a_n \right \} ,\; \left \{ b_n \right \} \) 에 대하여 수열 \[ a_1,\; b_1 ,\; a_2 ,\; b_2 , \; a_3 ,\; b_3 ,\; \cdots , \; a_n , \; b_n , \; \cdots \] 은 첫째항이 \(1\) 이고 공차가 \(2\) 인 등차수열이다. \(\lim \limits_{n \to \infty } \left( {\sqrt {{a_n}} - \sqrt {{b_n}} } \right)\) 의 값은? ① \(-1\) ② \(- \dfrac{1}{2} \) ③ \(0\) ④ \(\dfrac{1}{2}\) ⑤ \(1\) 정답 ③

자연수 \(n\) 에 대하여 \(5^n\) 을 분모라 하는 기약분수 중에서 \(1\) 과 \(2\) 사이에 있는 수들의 합을 \(T_n\) 이라 하자. 예를 들면, \(T_1 = {\dfrac{6}{5}}+ {\dfrac{7}{5}}+ {\dfrac{8}{5}}+ {\dfrac{9}{5}} = 6\) 이다. 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} {\dfrac{1}{T_n}} = {\dfrac {b}{a}} \) 일 때, 상수 \(a, \;b\) 의 합 \(a+b\) 의 값은? (단, \(a,\; b\) 는 서로소인 자연수이다.) ① \(28\) ② \(29\) ③ \(30\) ④ \(31\) ⑤ \(32\) 정답 ②

아래 그림과 같이 원 \(\rm O_1 , \;\; O_2 , \;\; O_3 , \;\; \cdots\) 은 서로 외접하면서 두 직선 \(y=3x,\;\; y= {\dfrac{1}{3}} x \) 에 접한다. 원 \(\rm O_1\) 의 중심의 좌표는 \(\left ( \sqrt {10} ,\; \sqrt{10} \right ) \) 이고, 원 \(\rm O_{\it n}\) 의 반지름의 길이를 \(r_n\) 이라 할 때, 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} \sqrt {r_n} = a\sqrt{2} +b \sqrt {10} \) 이다. 이 때, 두 유리수 \(a,\; b\) 에 대하여 \(a+b\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{3}{2}\) ③ \(2\) ..

다음 표와 같이 윗줄에는 수열 \(\{a_n\}\) 이 나열되고 있고, 아랫줄에는 짝수가 나열되어 있다. \[a_1\] \[a_2\] \[a_3\] \[a_4\] \[a_5\] \[\cdots\] \[p\] \[q\] \[\cdots\] \[2\] \[4\] \[6\] \[8\] \[10\] \[\cdots\] \[r\] \[s\] \[\cdots\] 임의의 사각형 모양으로 네 수 \(p,\;q,\;r,\; s\) 를 잡으면 \(ps-qr=400\) 이 성립한다. 이때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{a_n}{n}} \) 의 값은? (단, \(a_1 =3\) ) ① \(-200\) ② \(-197\) ③ \(0\) ④ \(197\) ⑤ \(200\) 정답 ②

\(6\rm L\) 의 파인애플 주스가 들어 있는 음료수 병 \(\rm P\)와 아무 것도 들어 있지 않는 음료수 병 \(\rm Q\) 가 있다. 첫 번째 시행으로 \(\rm P\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{2}\) 을 \(\rm Q\) 로 옮긴 다음, \(\rm Q\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 \(\rm P\) 에 다시 옮긴다. 두 번째 시행으로 \(\rm P\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{4}\) 을 \(\rm Q\) 로 옮긴 다음, \(\rm Q\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{5}\) 을 \(\rm P\) 에 다시 옮긴다. 이와 같이 \(\rm P\) 에서 \(\rm Q\) 로, \(\rm Q\) 에서 \(\rm P\)..