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목록수열의 극한 (156)
수악중독
다음과 같이 수가 증가하는 컴퓨터 바이러스가 있다. 각 단계마다 각 개체는 다른 개체와는 독립적으로 \(p\) 의 확률로 \(1\) 개, \(1-p\) 의 확률로 \(2\) 개의 새로운 개체를 다음 단계로 남기고 자신은 소멸된다. 예를 들면, 다음은 \(1\) 개체가 제 \(0\) 단계에서 시작하여 제 \(4\) 단계에 바이러스가 \(4\) 개체가 된 경우 중 하나를 나타낸 것이다. 지금 컴퓨터에 침입한 바이러스 \(1\) 개체가 제 \(0\) 단계에서 시작하여 제 \(n\) 단계에 \(m\) 개의 개체일 확률을 \({\rm P}_n (m)\) 이라고 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{{\rm P}_n (2)}{p^n}}\) 의 값은? (단, \(0
함수 \(f(x)=\sqrt{[x]+1-\left ( x- [x] \right )^2 }\;\; (x \ge 0)\) 과 직선 \(x=n-1,\; x=n\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 도형을 \(x\) 축의 둘레로 회전시킨 도형의 부피를 \(V_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{\sum \limits _{k=1}^{n} V_k }{n^2}\) 의 값은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수) ① \(\dfrac{\pi}{2}\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{3\pi}{2}\) ④ \(2\pi\) ⑤ \(\dfrac{5\pi}{2}\) 정답 ①
세 수열 \(\{a_n\},\;\;\{b_n\},\;\;\{c_n\}\) 의 일반항이 와 같을 때, 수열 중에서 수렴하는 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_n = {\dfrac {\sqrt {2n+2+\sqrt{n^2 +2n}}}{\sqrt{2n+1+\sqrt{n^2 +n}}}}\) ㄴ. \(b_n = {\dfrac {\sqrt {2n+2-\sqrt{n^2 +2n}}}{\sqrt{2n+1-\sqrt{n^2 +n}}}}\) ㄷ. \(c_n = {\dfrac {\sqrt {2n+2-2\sqrt{n^2 +2n}}}{\sqrt{2n+1-2\sqrt{n^2 +n}}}}\) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
양수 \(a\) 와 자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(S(n)\) 과 \(T(n)\) 을 다음과 같이 정의한다. (가) 수직선에서 \(0
\(x \ne 0\) 일 떄, 무한등비급수 \[ x+ x\left ( x^2 -x+1 \right ) + x \left ( x^2 -x+1 \right )^2 + \cdots \] 의 합을 \(S(x)\) 라 한다. 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(S(x)\) 의 정의역은 \(\{ x\; \vert \; 0
오른쪽 그림과 같이 \(\overline {\rm AB_1} = \overline {\rm AC_1} =3,\;\; \overline {\rm B_1 C_1}=2\) 인 이등변삼각형의 세 변에 접하는 원 \(\rm O_1\) 을 그린 후, 원 \(\rm O_1\) 에 접하고 삼각형의 두 변 \(\overline {\rm AB_1} \) 과 \(\overline {\rm AC_1}\) 에 접하는 원을 \(\rm O_2\), 원 \(\rm O_2\) 에 접하고 삼각형의 두 변 \(\overline {\rm AB_1} \) 과 \(\overline {\rm AC_1}\) 에 접하는 원을 \(\rm O_3 , \cdots \) 와 같이 원을 한없이 그려 나간다. 이 때, 원 \(\rm O_1 , \; O_2 ,..
\(\sum \limits _{n=1}^{\infty} \left ( {\dfrac{2}{n}} - {\dfrac{3}{n+1}} + {\dfrac {1}{n+3}} \right ) \) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{6}\) ② \(1\) ③ \(\dfrac{7}{6}\) ④ \(\dfrac{4}{3}\) ⑤ \(\dfrac{3}{2}\) 정답 ③
수열 \(\{a_n\}\) 이 다음과 같이 정의되어 있다. (단, \(a \ne 0\) ) (가) \(a_1 = a\) (나) \({\dfrac{1}{a_{n+1}}} = {\dfrac {2}{a_n}} +3 \;\;(n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots) \) \(a_n\) 이 \(0\) 이 아닌 값으로 수렴할 때, 상수 \(a\) 의 값은? ① \(-\dfrac{2}{3}\) ② \(-\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(1\) 정답 ② 점화식 풀이법을 잘 모르겠다면 아래 링크를 클릭 [수능 수학/수능수학] - 점화식 정리
수열 \(\{a_n\}\) 이 다음 조건을 만족할 때, \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} n (a_n - a_{n+1} ) \) 의 값은? (가) \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} a_n =1\) (나) \(\lim \limits _{n \to \infty} n \cdot a_n =0 \) ① \(-1\) ② \(0\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ④