수열의 극한_무한대/무한대꼴_난이도 상

자연수 \(m\) 에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 \(1\) 열에 \(1\) 개, \(2\) 열에 \(2\) 개, \(3\) 열에 \(3\) 개, \(\cdots\) , \(m\) 열에 \(m\) 개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다.

블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의 \(\dfrac{1}{2}\) 만큼의 블록을 그 열에서 들어낸다.

 
블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, \(1\) 열부터 \(m\) 열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 \(f(m)\) 이라 하자. 예를 들어, \(f(2)=2,\;\;f(3)=5,\;\;f(4)=6\) 이다.
\[\lim \limits _{n \to \infty} \frac{f \left ( 2^{n+1} \right ) - f \left ( 2^n \right )}{f \left (2^{n+2} \right ) } = \frac{q}{p}\] 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.)
 

 

정답 19