수학1_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 \(6\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 정삼각형 \(\rm ABC\) 의 외심을 \(\rm O\) 라 할 때, 중심이 \(\rm A\) 이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm AO}\) 인 원을 \(O_{\rm A}\) , 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm BO}\) 인 원을 \(O_{\rm B}\), 중심이 \(\rm C\) 이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm CO}\) 인 원을 \(O_{\rm C}\) 라 하자. 원 \(O_{\rm A}\) 와 원 \(O_{\rm B}\) 의 내분의 공통부분, 원 \(O_{\rm A}\) 와 원 \(O_{\rm C}\) 의 내부의 공통부분, 원 \(O_{\rm B}\) 와 원 \(O_{\rm C}\) 의 내분의 공통부분 중 삼각형 \(\rm ABC\) 내부에 있는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자.

그림 \(R_1\) 에 원 \(O_{\rm A}\) 가 두 선분 \(\rm AB, \; AC\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm D, \; E,\) 원 \(O_{\rm B}\) 가 두 선분 \(\rm AB, \; BC\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm F, \; G\), 원 \(O_{\rm C}\) 가 두 선분 \(\rm BC, \; AC\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm H, \; I\) 라 하고, 세 정삼각형 \(\rm AFI, \; BHD, \; CEG\) 에서 \(R_1\) 을 얻는 과정과 같은 방법으로 각각 만들어지는 모양의 도형 \(3\) 개에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자.

그림 \(R_2\) 에 새로 만들어진 세 개의 정삼각형에 각각 \(R_1\) 에서 \(R_2\) 를 얻는 과정과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형 \(9\) 개에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_3\) 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 그림 \(R_n\) 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} S_n\) 의 값은?

① \( \left ( 2 \pi -3 \sqrt{3} \right ) \left ( \sqrt{3} +3 \right )\)         

② \( \left ( \pi - \sqrt{3} \right ) \left ( \sqrt{3} +3 \right )\)

③ \( \left ( 2 \pi -3 \sqrt{3} \right ) \left (2 \sqrt{3} +3 \right )\)

④ \( \left ( \pi - \sqrt{3} \right ) \left ( 2\sqrt{3} +3 \right )\)

⑤ \( \left ( 2 \pi -2 \sqrt{3} \right ) \left ( \sqrt{3} +3 \right )\)

정답 ③