수악중독

집합 $X=\{x \; | \; x$ 는 $7$ 이하의 자연수 $\}$ 에서 집합 $Y=\{y \; | \; y$ 는 $40$ 이하의 자연수 $\}$ 로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수를 $N$ 이라 하자. $\dfrac{N}{10}$ 의 값을 구하시오. (가) $f(1)=1, \; f(5)=25$ (나) $x$ 가 $5$ 이하의 홀수이면 $f(x+1)-f(x)$ 는 $3$ 이상의 홀수이고, $x$ 가 $6$ 이하의 짝수이면 $f(x+1)-f(x)$ 는 $2$ 이상의 짝수이다. 더보기 정답 $252$

어느 농가에서 생산하는 당근 한 개의 무게는 모평균이 $m$, 모표준편차가 $12$ 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농가에서 생산하는 당근 중 $36$ 개를 임의추출하여 구한 당근의 무게의 표본평균의 값이 $\overline{x}$ 이고, 이 결과를 이용하여 구한 모평균 $m$ 에 대한 신뢰도 $99 \%$ 의 신뢰구간이 $106.84 \le m \le a$ 이다. $a+\overline{x}$ 의 값은? (단, 무게의 단위는 $\rm g$ 이고, $Z$ 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, ${\rm P} (0 \le Z \le 2.58) = 0.495$ 로 계산한다.) ① $227.16$ ② $227.66$ ③ $228.16$ ④ $228.66$ ⑤ $229.16$ 더보기 정답 ⑤

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d, \; e$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d, \; e)$ 의 개수를 구하시오. (가) $|a-b|=1$ (나) $a+b+2c+2d+2e=11$ 더보기 정답 $112$

$5$ 개의 숫자 $1, \; 2, \;3, \;4, \; 5$ 에서 중복을 허락하여 $6$ 개를 택하여 일렬로 나열하여 만든 여섯 자리의 자연수 전체의 집합에서 임의로 한 원소를 택할 때, 이 자연수의 각 자리의 숫자의 집합을 $A$ 라 하자. 예를 들어, 택한 여섯 자리의 자연수가 $111233$ 이면 $A=\{1, \; 2, \; 3\}$ 이다. $n(A)=2$ 일 때, $4 \in A$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $7$

$3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $$A_n = \{(p, \; q)\; | \; p

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c)$ 의 개수를 구하시오. (가) $a+b+c=14$ (나) $(a-2)(b-2)(c-2) \ne 0$ 더보기 정답 $84$

집합 $\{x \; | \; x$ 는 $10$ 이하의 자연수 $\}$ 의 원소의 개수가 $4$ 인 부분집합 중 임의로 하나의 집합을 택하여 $X$ 라 할 때, 집합 $X$ 가 다음 조건을 만족시킬 확률은? 집합 $X$ 의 서로 다른 세 원소의 합은 항상 $3$ 의 배수가 아니다. ① $\dfrac{3}{14}$ ② $\dfrac{2}{7}$ ③ $\dfrac{5}{14}$ ④ $\dfrac{3}{7}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ①

$\rm A, \; B$ 두 사람이 각각 $4$ 개씩 공을 가지고 다음 시행을 한다. $\rm A, \; B$ 두 사람이 주사위를 한 번씩 던져 나온 눈의 수가 짝수인 사람은 상대방으로부터 공을 한 개 받는다. 각 시행 후 $\rm A$ 가 가진 공의 개수를 세었을 때, $4$ 번째 시행 후 센 공의 개수가 처음으로 $6$ 이 될 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $135$

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1} {}_n {\rm C}_k}{k} = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \;\; \cdots \cdots (*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. $(\rm i)$ $n=1$ 일 때 (좌변)=$1$, (우변)=$1$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다. $(\rm ii)$ $n=m$ 일 때 $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$\sum \limits_{k=1}^m \dfrac{(-1)^{k-1} {}_m {\rm C}_k}{k} = \sum \limits_{k=1}^m \dfrac{1}{k}$$ 이다. $n=m+1$ 일 때, $$\begin{align..

세 명의 학생 $\rm A, \; B, \; C$ 에게 같은 종류의 빵 $3$ 개와 같은 종류의 우유 $4$ 개를 남김없이 나누어 주려고 한다. 빵만 받는 학생은 없고, 학생 $\rm A$ 는 빵을 $1$ 개 이상 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 우유를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) 더보기 정답 $37$