수악중독

집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$ 와 함수 $f:X \to X$ 에 대하여 함수 $f$ 의 치역을 $A$, 합성함수 $f \circ f$ 의 치역을 $B$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수를 구하시오. (가) $n(A) \le 3$ (나) $n(A) = n(B)$ (다) 집합 $X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $f(x) \ne x$ 이다. 더보기 정답 $260$

두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6\}$, $Y=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수 $f$ 의 개수는? (가) $\sqrt{f(1) \times f(2) \times f(3)}$ 의 값은 자연수이다. (나) 집합 $X$ 의 임의의 두 원소 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $x_1 < x_2$ 이면 $f(x_1) \le f(x_2)$ 이다. ① $84$ ② $87$ ③ $90$ ④ $93$ ⑤ $96$ 더보기 정답 ②

두 연속확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 갖는 값의 범위는 각각 $0 \le X \le a$, $0 \le Y \le a$ 이고, $X$ 와 $Y$의 확률밀도함수를 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 하자. $0 \le x \le a$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 는 $$f(x)=b, \; g(x)={\rm P}(0 \le X \le x)$$ 이다. ${\rm P}(0 \le Y \le c)=\dfrac{1}{2}$ 일 때, $(a+b) \times c^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $5$

각 면에 숫자 $1, \; 1, \; 2, \; 2, \; 2, \; 2$ 가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 $6$ 번 던질 때, $n\; (1 \le n \le 6)$ 번째에 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수를 $a_n$ 이라 하자. $a_1 + a_2 + a_3 > a_4 + a_5 + a_6$ 일 때, $a_1=a_4=1$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $133$

숫자 $1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5$ 중에서 서로 다른 $4$ 개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수 중에서 임의로 하나의 수를 택할 때, 택한 수가 $5$ 의 배수 또는 $3500$ 이상일 확률은? ① $\dfrac{9}{20}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{11}{20}$ ④ $\dfrac{3}{5}$ ⑤ $\dfrac{13}{20}$ 더보기 정답 ④

집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X \to X$ 의 개수를 구하시오. (가) $f(f(1))=4$ (나) $f(1) \le f(3) \le f(5)$ 더보기 정답 $115$

주머니에 $1$ 부터 $12$ 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 이는 $12$ 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $3$ 개의 공을 동시에 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 $a, \; b, \; c$ 라 하자. $b-a \ge 5$ 일 때, $c-a \ge 10$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $9$

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d, \; e$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d, \; e)$의 개수는? (가) $a+b+c+d+e=10$ (나) $|a-b+c-d+e| \le 2$ ① $359$ ② $363$ ③ $367$ ④ $371$ ⑤ $375$ 더보기 정답 ④

숫자 $0, \; 1, \; 2$ 중에서 중복을 허락하여 $5$ 개를 선택한 후 일렬로 나열하여 다섯 자리의 자연수를 만들려고 한다. 숫자 $0$ 과 $1$ 을 각각 $1$ 개 이상씩 선택하여 만들 수 있는 모든 자연수의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $115$

집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f: X \to X$ 의 개수를 구하시오. (가) $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)$ 는 짝수이다. (나) 함수 $f$ 의 치역의 원소의 개수는 $3$이다. 더보기 정답 $720$