수악중독

앞면에는 $1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 $0$ 이 하나씩 적혀 있는 $6$ 장의 카드가 있다. 이 $6$ 장의 카드가 그림과 같이 $6$ 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 $k$ 번째 자리에 자연수 $k$ 가 보이도록 놓여 있다. 이 $6$ 장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$ 이면 $k$ 번재 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다. 위의 시행을 $3$ 번 반복한 후 $6$ 장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 $1$ 의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더..

집합 $X=\{x|x$ 는 $10$ 이하의 자연수 $\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f: X \to X$ 의 개수를 구하시오. (가) $9$ 이하의 모든 자연수 $x$ 에 대하여 $f(x) \le f(x+1)$ 이다. (나) $1 \le x \le 5$ 일 때 $f(x) \le x$ 이고, $6 \le x \le 10$ 일 때 $f(x) \ge x$ 이다. (다) $f(6)=f(5)+6$ 더보기 정답 $100$

정규분포를 따르는 두 확률변수 $X, \; Y$ 의 확률밀도함수를 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 할 때, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$g(x)=f(x+6)$$ 이다. 두 확률변수 $X, \; Y$ 와 상수 $k$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ${\rm P}(X \le 11)={\rm P}(Y \ge 23)$ (나) ${\rm P}(X \le k) + {\rm P}(Y \le k) = 1$ 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 ${\rm P}(X \le k) + {\rm P}(Y \ge k)$ 의 값이 $0.1336$ 일 때, ${\rm E}(X)+\sigma(Y)$ 의 값은? ① $\dfrac{41}{2}$ ② $21$ ③ $\dfrac{43}{2}$ ④ $22$ ⑤ $\dfrac{45}..

두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4\}$, $Y=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X \to Y$ 의 개수를 구하시오. (가) 집합 $X$ 의 임의의 두 원소 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $x_1 < x_2$ 이면 $f(x_1) \le f(x_2)$ 이다. (나) $f(1) \le 3$ (다) $f(3) \le f(1)+4$ 더보기 정답 $105$

주머니 $\rm A$ 에 흰 공 $3$ 개, 검은 공 $1$ 개가 들어 있고, 주머니 $\rm B$ 에도 흰 공 $3$ 개, 검은 공 $1$ 개가 들어 있다. 한 개의 동전을 사용하여 [실행 1] 과 [실행 2]를 순서대로 하려고 한다. [실행 1] 한 개의 동전을 던져 앞면이 나오면 주머니 $\rm A$ 에서 임의로 $2$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm B$ 에 넣고, 뒷면이 나오면 주머니 $\rm A$ 에서 임의로 $3$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm B$ 에 넣는다. [실행2] 주머니 $\rm B$ 에서 임의로 $5$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm A$ 에 넣는다. [실행 2]가 끝난 후 주머니 $\rm B$ 에 흰 공이 남아 있지 않을 때, [실행 1]에서 주머니 $\rm B$ 에 넣은..

두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4\}$, $Y=\{0, \; 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6\}$ 에 대하여 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수 $f$ 중에서 $$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8$$ 을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는? ① $137$ ② $141$ ③ $145$ ④ $149$ ⑤ $153$ 더보기 정답 ④

서로 다른 두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 두 확률변수 $X, \; Y$ 가 각각 정규분포 ${\rm N} \left (a, \; \sigma^2 \right )$, ${\rm N}\left (2b-a, \; \sigma^2 \right )$ 을 따른다. 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 와 확률변수 $Y$ 의 확률밀도함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (가) ${\rm P}(x \le 11) = {\rm P} (Y \ge 11)$ (나) $f(17)

그림과 같이 두 주머니 $\rm A$ 와 $\rm B$ 에 흰 공 $1$개, 검은 공 $1$개가 각각 들어 있다. 주머니 $\rm A$ 에 들어 있는 공의 개수 또는 주머니 $\rm B$ 에 들어 있는 공의 개수가 $0$ 이 될 때까지 다음의 시행을 반복한다. 두 주머니 $\rm A, \; B$ 에서 각각 임의로 하나씩 꺼낸 두 개의 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 $\rm A$ 에 넣고, 서로 다른 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 $\rm B$ 에 넣는다. $4$번째 시행의 결과 주머니 $\rm A$ 에 들어 있는 공의 개수가 $0$ 일 때, $2$번째 시행의 결과 주머니 $\rm A$ 에 들어 있는 흰 공의 개수가 $1$ 이상일 확률은 $p$ 이다. $36p$ 의 값을 구하시오. 더보기 ..

$1$ 부터 $10$ 까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 $3$ 개의 수를 선택한다. 선택된 세 개의 수의 곱이 $5$ 의 배수이고 합은 $3$ 의 배수일 확률은? ① $\dfrac{3}{20}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{11}{60}$ ④ $\dfrac{1}{5}$ ⑤ $\dfrac{13}{60}$ 더보기 정답 ③

$1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적힌 $6$ 장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $4$ 번 반복하여 확인한 네 개의 수의 평균을 $\overline{X}$ 라 할 때, ${\rm P} \left (\overline{X} = \dfrac{11}{4} \right ) = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $175$