수악중독

세 명의 학생 $\mathrm{A, \; B, \; C}$에게 서로 다른 종류의 사탕 $5$개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 사탕을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) (가) 학생 $\mathrm{A}$는 적어도 하나의 사탕을 받는다. (나) 학생 $\mathrm{B}$가 받는 사탕의 개수는 $2$ 이하이다. ① $167$ ② $170$ ③ $173$ ④ $176$ ⑤ $179$ 더보기 정답 ④

두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$, $Y=\{-1, \; 0, \; 1, \; 2, \; 3\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X \to Y$의 개수를 구하시오. (가) $f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5)$ (나) $f(a)+f(b)=0$을 만족시키는 집합 $X$의 서로 다른 두 원소 $a, \; b$가 존재한다. 더보기 정답 $65$

흰색 원판 4개와 검은색 원판 4개에 각각 $\mathrm{A, \; B, \; C, \; D}$의 문자가 하나씩 적혀 있다. 이 8개의 원판 중에서 4개를 택하여 다음 규칙에 따라 원기둥 모양으로 쌓는 경우의 수를 구하시오. (단, 원판의 크기는 모두 같고, 원판의 두 밑면은 서로 구별하지 않는다.) (가) 선택된 4개의 원판 중 같은 문자가 적힌 원판이 있으면 같은 문자가 적힌 원판끼리는 검은색 원판이 흰색 원판보다 아래쪽에 놓이도록 쌓는다. (나) 선택된 4개의 원판 중 같은 문자가 적힌 원판이 없으면 $\mathrm{D}$가 적힌 원판이 맨 아래에 놓이도록 쌓는다. 더보기 정답 $708$

두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}, \; Y=\{1, \; 2, \; 3, \; 4\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수 $f$ 의 개수는? (가) 집합 $X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge \sqrt{x}$ 이다. (나) 함수 $f$ 의 치역의 원소의 개수는 $3$ 이다. ① $128$ ② $138$ ③ $148$ ④ $158$ ⑤ $168$ 더보기 정답 ①

두 연속확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 갖는 값의 범위는 $0 \le X \le 6, \; 0 \le Y \le 6$ 이고, $X$ 와 $Y$ 의 확률밀도함수는 각각 $f(x) , \; g(x)$ 이다. 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 의 그래프는 그림과 같다. $0 \le x \le 6$ 인 모든 $x$ 에 대하여 $$f(x)+g(x)=k \quad (k \text{는 상수})$$ 를 만족시킬 때, ${\rm P} (6k \le Y \le 15k)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $31$

흰 공과 검은 공이 각각 $10$ 개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $5$ 이상이면 바구니에 있는 흰 공 $2$ 개를 주머니에 넣고, 나온 눈의 수가 $4$ 이하이면 바구니에 있는 검은 공 $1$ 개를 주머니에 넣는다. 위의 시행을 $5$ 번 반복할 때, $n \; (1 \le n \le 5)$ 번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $a_n, \; b_n$ 이라 하자. $a_5 + b_5 \ge 7$ 일 때, $a_k=b_k$ 인 자연수 $k \; (1 \le k \le 5)$ 가 존재할 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$..

집합 $X=\{x \; | \; x \text{는} \; 8 \; \text{이하의 자연수} \}$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $f$ 중에서 임의로 하나를 선택한다. 선택한 함수 $f$ 가 $4$ 이하의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $f(2n-1)

숫자 $1, \; 2, \; 3$ 중에서 모든 숫자가 한 개 이상씩 포함되도록 중복을 허락하여 $6$ 개를 선택한 후, 일렬로 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리의 자연수 중 일의 자리의 수와 백의 자리의 수가 같은 자연수의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $150$

주머니에 $12$ 개의 공이 들어 있다. 이 공들 각각에는 숫자 $1, \; 2, \; 3, \; 4$ 중 하나씩이 적혀 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $4$ 번 반복하여 확인한 $4$ 개의 수의 합을 확률변수 $X$ 라 할 때, 확률변수 $X$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) ${\rm P}(X=4) = 16 \times {\rm P}(X=16) = \dfrac{1}{81}$ (나) ${\rm E}(X)=9$ ${\rm V}(X)= \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $23$

집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6 \}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f \; : \; X \to X$ 의 개수는? (가) $f(3)+f(4)$ 는 $5$ 의 배수이다. (나) $f(1)