수악중독

좌표공간에 중심이 $\mathrm{A}(0, 0, 1)$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구 $S$ 가 있다. 구 $S$ 가 $xy$ 평면과 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하고, 점 $\mathrm{A}$ 에서 선분 $\mathrm{PQ}$ 까지의 거리가 $2$ 가 되도록 원 $C$ 위에 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 를 잡는다. 구 $S$ 가 선분 $\mathrm{PQ}$ 를 지름으로 하는 구 $T$ 와 만나서 생기는 원 위에서 점 $\mathrm{B}$ 가 움직일 때, 삼각형 $\mathrm{BPQ}$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은? (단, 점 $\mathrm{B}$ 의 $z$ 좌표는 양수이다.) ① $6$ ② $3\sqrt{6}$ ③ $6\sqrt{2}$ ④ $3\sq..

한 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0) \; (c>0)$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1$ 과 중심의 좌표가 $(2, \; 3)$ 이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원이 있다. 타원 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 원 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PQ}} - \overline{\mathrm{PF}}$ 의 최솟값이 $6$ 일 때, $r$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $17$ 그냥 세 점 $\mathrm{F', \; P, \; Q}$ 만 한 직선 위에 있으면 되는 것이 아니냐고 질문을 하는 학생들이 있습니다. 즉, $r$ 가 $17$ 보다 작은 경우에도 세 점 $\mathrm{F', \; P, \; Q}..

좌표평면에서 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$ 이고 $\angle \mathrm{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 $\mathrm{APQ}$ 는 정삼각형이고 $9 \left | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = 4 \left | \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right | \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 이다. (나) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \..

타원 $\dfrac{x^2}{32}+\dfrac{y^2}{8}=1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $(a, \; b)$ 에서의 접선이 점 $(8, \; 0)$ 을 지날 때, $a+b$ 의 값은? ① $5$ ② $\dfrac{11}{2}$ ③ $6$ ④ $\dfrac{13}{2}$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③

좌표평면에서 벡터 $\overrightarrow{u} = (3, \; -1)$ 에 평행한 직선 $l$ 과 직선 $m:\dfrac{x-1}{7}=y-1$ 이 있다. 두 직선 $l, \; m$ 이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$ ② $\dfrac{\sqrt{14}}{5}$ ③ $\dfrac{4}{5}$ ④ $\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$ ⑤ $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ 더보기 정답 ⑤

포물선 $y^2=4px\; (p \gt 0)$ 의 초점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 직선이 포물선과 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 만날 때, 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C, \; D}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{BD}}=2:1$ 이고 사각형 $\mathrm{ACDB}$ 의 넓이가 $12\sqrt{2}$ 일 때, 선분 $\mathrm{AB}$ 의 길이는? (단, 점 $\mathrm{A}$ 는 제$1$사분면에 있다.) ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ①

공간에 선분 $\mathrm{AB}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{C}$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{H}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle \mathrm{AHB}=\dfrac{\pi}{2}$ (나) $\sin (\angle \mathrm{CAH} = \sin (\angle \mathrm{ABH}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 평면 $\mathrm{ABC}$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? (단, 점 $\mathrm{H}$ 는 선분 $\mathrm..

두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c \gt 0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 과 점 $\mathrm{A}(0, \; 6)$ 을 중심으로 하고 두 초점을 지나는 원이 있다. 원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 와 두 직선 $\mathrm{PF', \; AF}$ 가 만나는 점 $\mathrm{Q}$ 가 $\overline{\mathrm{PF}}:\overline{\mathrm{PF'}}=3:4, \quad \angle \mathrm{F'QF}=\dfrac{\pi}{2}$ 를 만족시킬 때, $b^2-a^2$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는..

좌표평면 위에 길이가 $6$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{C, \; D}$ 가 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=27, \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=9, \quad \overline{\mathrm{CD}} \gt 3$ 을 만족시킨다. 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 와 상수 $k$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{DP}}-..

공간에 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구가 있다. 구 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 가 $\overline{\mathrm{AB}}=8, \quad \overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{2}$ 를 만족시킨다. 평면 $\mathrm{ABC}$ 위에 있지 않은 구 위의 점 $\mathrm{D}$ 에서 평면 $\mathrm{ABC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 $\mathrm{OC, \; OD}$ 가 서로 수직이다. (나) 두 직선 $\mathrm{AD, \; OH}$ 가 서로 수직이다. 삼각형 $\mathrm{DAH}$ ..