벡터의 내적 & 내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2023년 9월 평가원 고3 기하 30번)

 

 

좌표평면에서 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$ 이고 $\angle \mathrm{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 삼각형 $\mathrm{APQ}$ 는 정삼각형이고 $9 \left | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = 4 \left | \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right | \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 이다.

(나) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}<0$

(다) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=24$

 

선분 $\mathrm{AQ}$ 위의 점 $\mathrm{X}$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{\mathrm{XA}} + \overrightarrow{\mathrm{XB}} \right |$ 의 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $m^2$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $27$