타원의 정의_난이도 상 (2023년 9월 평가원 고3 기하 29번)

 

 

한 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0) \; (c>0)$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1$ 과 중심의 좌표가 $(2, \; 3)$ 이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원이 있다. 타원 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 원 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PQ}} - \overline{\mathrm{PF}}$ 의 최솟값이 $6$ 일 때, $r$ 의 값을 구하시오. 

 

정답 $17$

 

그냥 세 점 $\mathrm{F', \; P, \; Q}$ 만 한 직선 위에 있으면 되는 것이 아니냐고 질문을 하는 학생들이 있습니다.

즉, $r$ 가 $17$ 보다 작은 경우에도 세 점 $\mathrm{F', \; P, \; Q}$ 만 한 직선 위에 있고 $\overline{\mathrm{QF'}}=12$ 인 경우도 있으니까 $r$ 는 $17$ 보다 작을 수 있는 것 아니냐고 질문을 합니다.

그런 경우에는 직선 $\mathrm{AF'}$ 를 그려서 직선이 타원, 원과 만나는 교점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라고 생각해 보세요.

(물론 이때 점 $\mathrm{P}$ 는 직선과 타원의 두 교점 중 점 $\mathrm{A}$ 로 부터 더 먼 점이고, 점 $\mathrm{Q}$ 는 직선과 원이 만나는 두 교점 중 점 $\mathrm{P}$ 와 더 가까운 점입니다.)

그럼 $\mathrm{QF'}<12$ 인 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 가 존재하게 됩니다. 즉, 이렇게 되면 $\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{PF'}}$ 의 최솟값이 $12$ 가 아니게 됩니다.