삼수선 정리 & 정사영의 넓이_난이도 상 (2023년 7월 전국연합 고3 기하 30번)

 

 

공간에 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구가 있다. 구 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 가 $$\overline{\mathrm{AB}}=8, \quad \overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{2}$$ 를 만족시킨다. 평면 $\mathrm{ABC}$ 위에 있지 않은 구 위의 점 $\mathrm{D}$ 에서 평면 $\mathrm{ABC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) 두 직선 $\mathrm{OC, \; OD}$ 가 서로 수직이다.

(나) 두 직선 $\mathrm{AD, \; OH}$ 가 서로 수직이다. 

 

삼각형 $\mathrm{DAH}$ 의 평면 $\mathrm{DOC}$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 할 때, $8S$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{H}$ 는 점 $\mathrm{O}$ 가 아니다.)

 

 

정답 $27$