수악중독

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(5, \; 0), \; \mathrm{F'}(-5, \; 0)$ 을 초점으로 하는 타원이 $x$ 축과 만나는 점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점 $\mathrm{P}$ 와 타원 위의 점 중 제$2$사분면에 있는 점 $\mathrm{Q}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 $\mathrm{PF'}$ 은 원 $C$ 에 접한다. (나) 두 직선 $\mathrm{PF', \; QF'}$ 은 서로 수직이다. $\overline{\mathrm{QF'}}=\dfrac{3}{2}\ove..

초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $C:y^2=4x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{PF}$ 를 지름으로 하는 원을 $O$ 라 할 때, 원 $O$ 는 포물선 $C$ 와 서로 다른 두 점에서 만난다. 원 $O$ 가 포물선 $C$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$, 점 $\mathrm{P}$ 에서 포물선 $C$ 의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\angle \mathrm{QHP}=\alpha, \; \angle \mathrm{HPQ}=\beta$ 라 할 때, $\dfrac{\tan \beta}{\tan \alpha}=3$ 이다. $\dfrac{\overline{\m..

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{27}=1$ 위의 점 $\mathrm{P} \left (\dfrac{9}{2}, \; k \right ) \; (k>0)$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{F, \; F'}$ 을 초점으로 하고 점 $\mathrm{Q}$ 를 한 꼭짓점으로 하는 쌍곡선이 선분 $\mathrm{PF'}$ 와 만나는 두 점을 $\mathrm{R, \; S}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{RS}} + \overline{\mathrm{SF}}=\overline{\m..

좌표평면에서 포물선 $y^2=2x-2$ 의 꼭짓점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 이 포물선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 와 양의 실수 $k$ 에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{OX}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \dfrac{k}{\left | \overrightarrow{\mathrm{OP}} \right |} \overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{X}$ 가 나타내는 도형을 $C$ 라 하자. 도형 $C$ 가 포물선 $y^2=2x-2$ 와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$ 의 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $m^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는..

포물선 $x^2=8y$ 의 초점과 준선 사이의 거리는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ①

한 초점이 $\mathrm{F}(3, \; 0)$ 이고 주축의 길이가 $4$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 의 점근선 중 기울기가 양수인 것을 $l$ 이라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 와 직선 $l$ 사이의 거리는? (단, $a, \; b$ 는 양수이다.) ① $\sqrt{3}$ ② $2$ ③ $\sqrt{5}$ ④ $\sqrt{6}$ ⑤ $\sqrt{7}$ 더보기 정답 ③

포물선 $y^2=4x+4y+4$ 의 초점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$ 인 원이 포물선과 만나는 두 점을 $\mathrm{A}(a, \; b), \; \mathrm{B}(c, \; d)$ 라 할 때, $a+b+c+d$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(0, \; c), \; \mathrm{F'}(0, -c) \; (c>0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}{4}=-1$ 이 있다. 쌍곡선 위의 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 와 쌍곡선 위의 제$3$사분면에 있는 점 $\mathrm{Q}$ 가 $\mathrm{\overline{PF'}-\overline{QF'}=5, \quad \overline{PF}=\dfrac{2}{3}\overline{QF}}$ 를 만족시킬 때, $\mathrm{\overline{PF} + \overline{QF}}$ 의 값은? ① $10$ ② $\dfrac{35}{3}$ ③ $\dfrac{40}{3}$ ④ $15$ ⑤ $\dfrac{50..

장축의 길이가 $6$ 이고 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \mathrm{F'}(-c, \; 0)\; (c>0)$ 인 타원을 $C_1$ 이라 하자. 장축의 길이가 $6$ 이고 두 초점이 $\mathrm{A}(3, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0)$ 인 타원을 $C_2$ 라 하자. 두 타원 $C_1$ 과 $C_2$ 가 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 $\cos (\angle \mathrm{AFP})=\dfrac{3}{8}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{PFA}$ 의 둘레의 길이는? ① $\dfrac{11}{6}$ ② $\dfrac{11}{5}$ ③ $\dfrac{11}{4}$ ④ $\dfrac{11}{3}$ ⑤ $\dfr..

그림과 같이 꼭짓점이 원점 $\mathrm{O}$ 이고 초점이 $\mathrm{F}(p, \; 0) \; (p>0)$ 인 포물선이 있다. 점 $\mathrm{F}$ 를 지나고 기울기가 $-\dfrac{4}{3}$ 인 직선이 포물선과 만나는 점 중 제 $1$사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 직선 $\mathrm{FP}$ 위의 점을 중심으로 하는 원 $C$ 가 점 $\mathrm{P}$ 를 지나고, 포물선의 준선에 접한다. 원 $C$ 의 반지름의 길이가 $3$ 일 때, $25p$ 의 값을 구하시오. (단, 원 $C$ 의 중심의 $x$ 좌표는 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표보다 작다.) 더보기 정답 $96$