수악중독

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 인 타원 $C$ 가 있다. 타원 $C$ 가 두 직선 $x=c, \; x=-c$ 와 만나는 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. 두 초점이 $\mathrm{A, \; B}$ 이고 점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 쌍곡선이 직선 $x=c$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{F}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 이 쌍곡선이 두 직선 $\mathrm{BF, \; BP}$ 와 만나는 점 중 $x$ 좌표가 음수인 점을 각각 $\mathrm{Q, \; R}$ 라 하자. 세 점 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 가 다..

포물선 $y^2=10(x+1)$ 의 초점을 $\mathrm{F}$ 라 하자. 직선 $x=7$ 이 이 포물선과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 할 때, 선분 $\mathrm{AF}$ 의 길이는? ① $\dfrac{21}{2}$ ② $\dfrac{23}{2}$ ③ $\dfrac{25}{2}$ ④ $\dfrac{27}{2}$ ⑤ $\dfrac{29}{2}$ 더보기 정답 ①

좌표평면에서 점 $\mathrm{A}(2, \; 2)$ 와 벡터 $\overrightarrow{u} = (2, \; 1)$ 에 대하여 $\mathrm{\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA}} + t \overrightarrow{u} \; (t\text{는 실수})$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$ 가 나타내는 직선을 $l$ 이라 할 때, 포물선 $y^2=8x$ 에 접하고 직선 $l$ 에 평행한 직선을 $m$ 이라 하자. 두 직선 $l, \; m$ 의 $y$ 절편의 합은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③

중심이 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 위의 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에 대하여 $\left | 3 \mathrm{\overrightarrow{OA}+2 \overrightarrow{OB}} \right | = \sqrt{5}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는? ① $\dfrac{\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ③ $\dfrac{\sqrt{5}}{8}$ ④ $\dfrac{\sqrt{5}}{7}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{5}}{6}$ 더보기 정답 ⑤

직선 $l$ 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}}=6$, $\overline{\mathrm{BC}}=4$ 일 때, 두 타원 $E, \; F$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 타원 $E$ 의 두 초점은 $\mathrm{A, \; B}$ 이고 장축의 길이는 $10$ 이다. (나) 타원 $F$ 의 두 초점을 $\mathrm{B, \; C}$ 이고 장축의 길이는 $6$ 이다. 두 티원의 점 $\mathrm{D}$ 에서 만날 때, 선분 $\mathrm{BD}$ 의 길이는? (단, $\mathrm{\overline{AC} > \overline{BC}}$) ① $\dfrac{41}{19}$ ② $\dfrac{43}{19}$ ③ $..

한 평면 위에 있는 서로 다른 네 점 $\mathrm{A, \; B, \; C, \; D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right | = 6$ (나) $\mathrm{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} = 0}$ 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 $\mathrm{2 \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + 5 \overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC}}$ 일 때, $\left | \m..

그림과 같이 쌍곡선 $x^2-\dfrac{y^2}{9}=1$ 의 두 초점을 $\mathrm{F, \; F'}$ 이라 할 때, 점 $\mathrm{F'}$ 을 꼭짓점으로 하고 점 $\mathrm{F}$ 를 초점으로 하는 포물선이 쌍곡선과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 제$3$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{F'}$ 을 지나는 원을 $C_1$, 점 $\mathrm{B}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{F'}$ 을 지나는 원을 $C_2$ 라 하자. 원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{PQ}$ 의 중..

그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 와 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 두 점 $\mathrm{D, \; E}$ 를 지름의 양 끝점으로 하고 두 선분 $\mathrm{AB, \; AC}$ 와 각각 점 $\mathrm{F, \; G}$ 에서 접하는 반원이 있다. 반원의 호 위의 점 $\mathrm{P}$ 중에서 $\mathrm{\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF}}$ 의 값이 최소가 되는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P'}$ 이라 하고, 반원의 중심 $\mathrm{O}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{OP'}$ 이 선분 $\mathrm{AC}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\..

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{9}=1 \; (a>0)$ 위의 점 $\mathrm{P}(2, \; a)$ 에서의 접선의 $y$ 절편은? ① $-9\sqrt{3}$ ② $-9$ ③ $-3\sqrt{3}$ ④ $-3$ ⑤ $-\sqrt{3}$ 더보기 정답 ③

좌표평면 위의 점 $(2, \; 1)$ 을 지나고 벡터 $\overrightarrow{n}=(3, \; 2)$ 에 수직인 직선이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{16}{3}$ ② $\dfrac{17}{3}$ ③ $6$ ④ $\dfrac{19}{3}$ ⑤ $\dfrac{20}{3}$ 더보기 정답 ①