수악중독

오른쪽 그림과 같이 길이가 \(10\)인 선분 \(\rm AB\) 위에 동점 \(\rm P\)가 있을 때, 선분 \(\rm AP,\;BP\)를 지름으로 하는 두 원의 넓이의 합을 \(S\)라 하자. 점 \(\rm P\)가 점 \(\rm A\)에서 출발하여 점 \(\rm B\)를 향해 매초 \(1\)의 속도로 움직이면 출발한 후 \(6\)초일 때, \(S\)의 순간변화율은? ① \(2\pi\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{\pi}{2}\) ④ \(-\pi\) ⑤ \(-2\pi\) 정답 ②

오른쪽 그림은 수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\)의 시각 \(t\)에서의 속도 \(v(t)\)를 나타내는 그래프이다. \(v(t)\)는 \(t=2\)를 제외한 구간 \((0,\;3)\)에서 미분가능한 함수이고, \(v(t)\)의 그래프는 구간 \((0,\;1)\)에서 원점과 점 \((1,\;k)\)를 잇는 직선과 한 점에서 만난다. 점 \(\rm P\)의 시각 \(t\)에서의 가속도 \(a(t)\)를 나타내는 그래프의 개형으로 가장 알맞은 것은? 정답 ②

둘레의 길이가 \(200\rm m\)인 육상 트랙을 따라 갑, 을 두 사람이 같은 지점에서 출발하여 서로 같은 방향으로 달려가고 있다. 출발한 후 \(t\)분 동안 갑, 을이 움직인 거리가 각각 \(t^3 +t \;(\rm m)\), \({\dfrac{3}{2}}t^2 +7t\;(\rm m)\)일 때, 출발한 후 \(10\)분 동안 두 사람이 만나는 횟수를 구하시오. 정답 4번

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 의 시각 \(t\) 에서의 위치가 \(f(t)=2t^3 -9t^2 +12t\) 일 때, 다음 중 출발할 때의 운동 방향과 반대 방향으로 점 \(\rm P\) 가 움직인 거리를 나타내는 것은? ① \(f(1)-f(2)\) ② \(f(2)-f(1)\) ③ \(f(1)\) ④ \(f(2)\) ⑤ \(f(1)+f(2)\) 정답 ①

함수 \(y=x^3 +ax\)의 그래프를 원점을 중심으로 양의 방향으로 \(45^o\) 회전시켜 얻은 곡선이 실수 전체에서 정의된 어떤 함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 되는 실수 \(a\)의 값의 범위는? ① \(a\ge 1\) ② \(a\ge 0 \) ③ \(a\le 1\) ④ \(a\le -1\) ⑤ \(0\le a \le 2 \) 정답 ①

다음 그림과 같이 물체 \(\rm P\) 는 원점 \(\rm O\) 에서 \(100 \rm m\) 떨어진 지점 \(\rm A\) 를 항하여 움직이고, 물체 \(\rm Q\) 는 \(\rm A\) 에서 원점 \(\rm O\) 를 향하여 움직이고 있다. \(t\) 초 후의 두 물체 \(\rm P, \;Q\) 의 위치 \(f(t),\;g(t)\) 는 각각 \(f(t)=at,\; g(t)=t^3 -6t^2 +100\) 이다. 물체 \(\rm Q\) 가 움직이는 동안 물체 \(\rm P\) 와 한 번만 만난다고 할 때, 상수 \(a\) 의 값을 구하시오. 정답 15

실수에서 정의된 미분가능한 함수 \(f(x)\) 는 다음 두 조건을 만족한다. (가) 임의의 실수 \(x,\;y\) 에 대하여 \(f(x-y)=f(x)-f(y)+xy(x-y) \) (나) \( f~'(0) =8 \) 함수 \(f(x)\) 가 \(x=a\) 에서 극댓값을 갖고 \(x=b\) 에서 극솟값을 가질 때, \(a^2 +b^2 \) 의 값을 구하시오. 정답 16

자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(f(x)=x^n (x-1) \) 이 \(x=0\) 에서 극댓값을 갖고, \({\dfrac{1}{2}}

윗면의 반지름의 길이가 \(2 \rm cm\), 깊이가 \(6\rm cm\)인 직원뿔 모양의 그릇에 매초 \(0.5 \rm cm\)의 속도로 수면이 상승하도록 물을 넣을 때, 수면의 높이가 \(3\rm cm\)가 되는 순간의 수면의 넓이의 증가 속도는? (단, 단위는 \(\rm cm^2/\)초) ① \(\dfrac{1}{\pi}\) ② \(\dfrac{3}{2 \pi}\) ③ \(\dfrac{\pi}{3}\) ④ \(\dfrac{3}{2} \pi\) ⑤ \(\dfrac{2}{3\pi}\) 정답 ③

그림과 같이 곡선 \(y=x^3\) 위에서 원점과 점 \({\rm A} (2, \; 8)\) 사이를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 이 때 어두운 부분의 넓이가 최소가 될 때 점 \(\rm P\) 의 \(x\) 좌표는? ① \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) ② \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(\sqrt{3}\) 정답 ② 이 문제는 미분을 이용해서도 풀 수 있습니다. 원점과 점 \(\rm A\) 를 연결한 직선과 곡선 \(y=x^3\) 으로 둘러싸인 부분의 넓이는 일정하기 때문에 삼각형 \(\rm OAP\) 의 넓이가 최대가 될 때가 어두운 두 부분의 넓이의 합이 최소가 될 때입니다. 따라서 직선 \(\..