미적분과 통계기본_적분_넓이와 적분_난이도 중

 

그림과 같이 곡선 $y=x^3$ 위에서 원점과 점 ${\rm A} (2, \; 8)$ 사이를 움직이는 점 $\rm P$ 가 있다. 이 때 어두운 부분의 넓이가 최소가 될 때 점 $\rm P$ 의 $x$ 좌표는?

① $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$           ② $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$           ③ $\dfrac{1}{3}$           

④ $\dfrac{2}{3}$               ⑤ $\sqrt{3}$

정답 ②

 이 문제는 미분을 이용해서도 풀 수 있습니다. 원점과 점 $\rm A$ 를 연결한 직선과 곡선 $y=x^3$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이는 일정하기 때문에 삼각형 $\rm OAP$ 의 넓이가 최대가 될 때가 어두운 두 부분의 넓이의 합이 최소가 될 때입니다. 따라서 직선 $\rm OA$ 와 기울기가 같은 접선의 기울기를 갖는 접점이 $\rm P$ 일 때 어두운 두 부분의 넓이의 합이 최소가 됩니다. 직선 $\rm OA$ 의 기울기가 $4$이므로 $y'=3x^2$ 에서 $3x^2=4$ 일 때, 즉 $x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ 일 때 어두운 부분의 넓이가 최소가 됩니다.