미적분과 통계기본_적분_넓이와 적분_난이도 중

 

그림과 같이 곡선 \(y=x^3\) 위에서 원점과 점 \({\rm A} (2, \; 8)\) 사이를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 이 때 어두운 부분의 넓이가 최소가 될 때 점 \(\rm P\) 의 \(x\) 좌표는?

① \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)           ② \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)           ③ \(\dfrac{1}{3}\)           

④ \(\dfrac{2}{3}\)               ⑤ \(\sqrt{3}\)

정답 ②

 이 문제는 미분을 이용해서도 풀 수 있습니다. 원점과 점 \(\rm A\) 를 연결한 직선과 곡선 \(y=x^3\) 으로 둘러싸인 부분의 넓이는 일정하기 때문에 삼각형 \(\rm OAP\) 의 넓이가 최대가 될 때가 어두운 두 부분의 넓이의 합이 최소가 될 때입니다. 따라서 직선 \(\rm OA\) 와 기울기가 같은 접선의 기울기를 갖는 접점이 \(\rm P\) 일 때 어두운 두 부분의 넓이의 합이 최소가 됩니다. 직선 \(\rm OA\) 의 기울기가 \(4\)이므로 \(y'=3x^2\) 에서 \(3x^2=4\) 일 때, 즉 \(x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\) 일 때 어두운 부분의 넓이가 최소가 됩니다.