수악중독

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 변 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm P$ 라 하고, 선분 $\rm AP$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm PQ$ 의 길이를 $x$ 라 하자. $\overline{\rm AQ}^2 + \overline{\rm BQ}^2 + \overline{\rm CQ}^2$ 은 $x=a$ 에서 최솟값 $m$ 을 가진다. $\dfrac{m}{a}$ 의 값은? (단, $0

그림과 같이 빗변의 길이가 $c$ 이고 둘레의 길이가 $10$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 다음은 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 빗변의 길이 $c$ 의 범위를 구하는 과정이다. $\overline{\rm BC}=a, \; \overline{\rm CA}=b$ 라 하면 삼각형 $\rm ABC$ 의 둘레의 길이가 $10$ 이고 $\overline{\rm AB}=c$ 이므로 $$a+b=\boxed{ (가) } \cdots\cdots (1)$$ 이다. 삼각형 $\rm ABC$ 가 직각삼각형이므로 $a^2+b^2=c^2$ 에서 $$(a+b)^2-2ab=c^2 \cdots \cdots (2)$$이다. (1)을 (2)에 대입하면 $ab=\boxed{ (나) }$ 이다. $a, \; b$ 를 두 실근으..

이차함수 $y=x^2 -3x+1$ 의 그래프와 직선 $y=x+2$ 로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수는? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ⑤

$1\le x \le 2$ 에서 이차함수 $f(x)=(x-a)^2+b$ 의 최솟값이 $5$ 일 때, 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $a=\dfrac{3}{2}$ 일 때, $b=5$ 이다. ㄴ. $a \le 1$ 일 때, $b=-a^2+2a+4$ 이다. ㄷ. $a+b$ 의 최댓값은 $\dfrac{29}{4}$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤

$x$ 에 대한 사차방정식 $x^4-(2a-9)x^2+4=0$ 이 서로 다른 네 실근 $\alpha, \; \beta, \; \gamma, \; \delta \; (\alpha < \beta

$100$ 이하의 자연수 $n$ 에 대하여 $$(1-i)^{2n} = 2^n i$$ 를 만족시키는 모든 $n$ 의 개수를 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ 이다.) 더보기 정답 $25$

$x$ 에 대한 연립부등식 $$\begin{cases} x^2 - \left (a^2-3 \right ) x -3a^2 0 & \end{cases}$$을 만족시키는 정수 $x$ 가 존재하지 않기 위한 실수 $a$ 의 최댓값을 $M$ 이라 하자. $M^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a>2$) 더보기 정답 $10$

두 이차함수 $f(x), \; g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f(0)$, $g(x) \le g(0)$ 이다. (나) $f(0)$ 은 정수이고, $g(0)-f(0)=4$ 이다. $x$ 에 대한 방정식 $f(x)+p=k$ 의 서로 다른 실근의 개수와 $x$ 에 대한 방정식 $g(x)-p=k$ 의 서로 다른 실근의 개수가 같게 되도록 하는 정수 $k$ 의 개수가 $1$ 일 때, 실수 $p$ 의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$ 이라 하자. $m+10M$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $31$

연립부등식 $$\begin{cases} |x-k| \le 5 & \\ x^2-x-12>0 &\end{cases}$$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합이 $7$이 되도록 하는 정수 $k$의 값은? ① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$ 더보기 정답 ④

삼차방정식 $x^3-x^2-kx+k=0$의 세 근을 $\alpha, \; \beta, \; \gamma$라 하자. $\alpha, \; \beta$ 중 실수는 하나뿐이고 $\alpha^2=-2\beta$일 때, $\beta^2+\gamma^2$의 값은? (단, $k$는 $0$이 아닌 실수이다.) ① $-5$ ② $-4$ ③ $-3$ ④ $-2$ ⑤ $-1$ 더보기 정답 ⑤