수악중독

이차방정식 $x^2+2x+a=0$ 의 두 근이 $-3, \; b$ 일 때, 두 상수 $a, \; b$ 의 합 $a+b$ 의 값은? ① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$ 더보기 정답 ① 이차방정식 근과 계수와의 관계에 의하여 $-3 + b = -2$ $-3b=a$ $\therefore b=1, \; a=-3$ $a+b=-2$

$x, \; y$ 에 대한 연립방정식 $$\begin{cases} 2x+y=1 \\ x^2-ky=-6 \end{cases}$$ 이 오직 한 쌍의 해를 갖도록 하는 양수 $k$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ② $y=-2x+1$ 을 $x^2-ky=-6$ 에 대입하면 $x^2-k(-2x+1)=-6$ $x^2-2kx-k+6=0$ 따라서 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지려면 방정식 $x^2-2kx-k+6=0$ 가 중근을 가져야 한다. 방정식 $x^2-2kx-k+6=0$ 의 판별식을 $D$ 라고 하면 $\dfrac{D}{4} = k^2+k-6=(k+3)(k-2)=0$ $\therefore k=-3$ 또는 $k=2$ 양수 $k$ 의 값은 $2$ 이다.

$x$ 에 대한 부등식 $|x-7| \le a+1$ 을 만족시키는 모든 정수 $x$ 의 개수가 $9$ 가 되도록 하는 자연수 $a$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③ $-a-1 \le x-7 \le a+1$ $-a+6 \le x \le a+8$ $(a+8)-(-a+6)+1 = 9$ $2a+3=9$ $\therefore a=3$

곡선 $y=2x^2-5x+a$ 와 직선 $y=x+12$ 가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 $x$ 좌표의 곱이 $-4$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ② $x$ 에 대한 이차방정식 $2x^2-5x+a=x+12$, 즉, $2x^2-6x+a-12=0$ 의 두 근의 곱이 $-4$ 이므로 이차방정식 근과 계수와의 관계에 의해서 두 근의 곱은 $\dfrac{a-12}{2}=-4$ 이다. $\therefore a=4$

연립방정식 $$\begin{cases} x^2-3xy+2y^2=0 \\ x^2-y^2=9\end{cases}$$ 의 해를 $$\begin{cases} x= \alpha_1 \\ y=\beta_1\end{cases} \text{ 또는 } \begin{cases} x=\alpha_2 \\ y= \beta_2 \end{cases}$$ 라 하자. $\alpha_1 < \alpha_2$ 일 때, $\beta_1 - \beta_2$ 의 값은? ① $-2\sqrt{3}$ ② $-2\sqrt{2}$ ③ $2\sqrt{2}$ ④ $2\sqrt{3}$ ⑤ $4$ 더보기 정답 ①

$x$ 에 대한 사차방정식 $$x^4+(3-2a)x^2+a^2-3a-10=0$$ 이 실근과 허근을 모두 가질 때, 이 사차방정식에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a$ 는 실수이다.) ㄱ. $a=1$ 이면 모든 실근의 곱은 $-3$ 이다. ㄴ. 모든 실근의 곱이 $-4$ 이면 모든 허근의 곱은 $3$ 이다. ㄷ. 정수인 근을 갖도록 하는 모든 실수 $a$ 의 값의 합은 $-1$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤

좌표평면 위에 세 점 $\mathrm{O}(0, \; 0)$, $\mathrm{A}(0, \; 1)$, $\mathrm{B}(-1, \; 0)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 와 세 점 $\mathrm{O}(0, \; 0)$, $\mathrm{C}(0, \; -1)$, $\mathrm{D}(1, \; 0)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{OCD}$ 가 있다. 양의 실수 $t$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 를 $x$ 축의 방향으로 $t$ 만큼 평행이동한 삼각형을 $T_1$, 삼각형 $\mathrm{OCD}$ 를 $y$ 축의 방향으로 $2t$ 만큼 평행이동한 삼각형을 $T_2$ 라 하자. 두 삼각형 $T_1, \; T_2$ 의 내부의 공통부분이 육각형 모양..

삼차방정식 $x^3+x-2=0$ 의 서로 다른 두 허근을 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $\alpha^3 + \beta^3$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $5$

부등식 $|x-2|

두 복소수 $x=\dfrac{1-i}{1+i}, \; y=\dfrac{1+i}{1-i}$ 에 대하여 $x+y$ 의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$) ① $-4i$ ② $2i$ ③ $0$ ④ $2$ ⑤ $4$ 더보기 정답 ③