연립이차방정식_난이도 중하 (2020년 11월 전국연합 고1 9번)

 

 

$x, \; y$ 에 대한 연립방정식 $$\begin{cases} 2x+y=1 \\ x^2-ky=-6 \end{cases}$$ 이 오직 한 쌍의 해를 갖도록 하는 양수 $k$ 의 값은?

 

① $1$          ② $2$          ③ $3$          ④ $4$          ⑤ $5$

 

정답 ②

 

$y=-2x+1$ 을 $x^2-ky=-6$ 에 대입하면

$x^2-k(-2x+1)=-6$

$x^2-2kx-k+6=0$

따라서 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지려면 방정식 $x^2-2kx-k+6=0$ 가 중근을 가져야 한다.

방정식 $x^2-2kx-k+6=0$ 의 판별식을 $D$ 라고 하면 

$\dfrac{D}{4} = k^2+k-6=(k+3)(k-2)=0$ 

$\therefore k=-3$ 또는 $k=2$ 

 

양수 $k$ 의 값은 $2$ 이다.